Las funciones hipérbolasticas , también conocidas como modelos de crecimiento hipérbolásticas , son funciones matemáticas que se utilizan en el modelado estadístico médico . Estos modelos se desarrollaron originalmente para capturar la dinámica de crecimiento de las esferas de tumores multicelulares y fueron introducidos en 2005 por Mohammad Tabatabai, David Williams y Zoran Bursac. [1] La precisión de las funciones hipérbolasticas en el modelado de problemas del mundo real se debe en parte a su flexibilidad en su punto de inflexión. [1] Estas funciones se pueden utilizar en una amplia variedad de problemas de modelado, como el crecimiento tumoral, la proliferación de células madre , la cinética farmacéutica, el crecimiento del cáncer, la función de activación sigmoidea enredes neuronales y progresión o regresión de enfermedades epidemiológicas. [1] [2] [3]
Las funciones hipérbolasticas pueden modelar tanto las curvas de crecimiento como las de descomposición hasta que alcanza la capacidad de carga . Debido a su flexibilidad, estos modelos tienen diversas aplicaciones en el campo médico, con la capacidad de capturar la progresión de la enfermedad con un tratamiento intermedio. Como indican las figuras, las funciones hipérbolasticas pueden ajustarse a una curva sigmoidea que indica que la tasa más lenta ocurre en las etapas temprana y tardía. Además de presentar formas sigmoideas, también puede adaptarse a situaciones bifásicas en las que las intervenciones médicas ralentizan o revierten la progresión de la enfermedad; pero, cuando el efecto del tratamiento se desvanece, la enfermedad iniciará la segunda fase de su progresión hasta alcanzar su asíntota horizontal.
Una de las principales características que tienen estas funciones es que no solo pueden ajustarse a formas sigmoideas, sino que también pueden modelar patrones de crecimiento bifásico que otras curvas sigmoideas clásicas no pueden modelar adecuadamente. Esta característica distintiva tiene aplicaciones ventajosas en varios campos que incluyen medicina, biología, economía, ingeniería, agronomía y teoría de sistemas asistidos por computadora. [4] [5] [6] [7] [8]
Función H1
La ecuación de velocidad hipérbolastica de tipo I , denominada H1, viene dada por:
dónde es cualquier número real y es el tamaño de la población en . El parámetro representa la capacidad de carga y los parámetros y representan conjuntamente la tasa de crecimiento. El parámetroda la distancia desde una curva sigmoidea simétrica. Resolviendo la ecuación de tasa hipérbolastica de tipo I para da:
dónde es la función del seno hiperbólico inverso . Si uno desea usar la condición inicial, luego se puede expresar como:
- .
Si , luego reduce a:
- .
La función hipérbolastica de tipo I generaliza la función logística . Si los parámetros, entonces se convertiría en una función logística. Esta funciónes una función hyperbolastic de tipo I . La función hipérbolastica estándar del tipo I es
- .
Función H2
La ecuación de velocidad hipérbolastica de tipo II , denotada por H2, se define como:
dónde es la función tangente hiperbólica , es la capacidad de carga, y tanto y determinar conjuntamente la tasa de crecimiento. Además, el parámetrorepresenta la aceleración en el transcurso del tiempo. Resolviendo la función de tasa hipérbolastica de tipo II para da:
- .
Si uno desea usar la condición inicial luego se puede expresar como:
- .
Si , luego reduce a:
- .
La función hipérbolastica estándar del tipo II se define como:
- .
Función H3
La ecuación de velocidad hipérbolastica de tipo III se denota por H3 y tiene la forma:
- ,
dónde > 0. El parámetro representa la capacidad de carga y los parámetros y determinar conjuntamente la tasa de crecimiento. El parámetro representa la aceleración de la escala de tiempo, mientras que el tamaño de representa la distancia desde una curva sigmoidea simétrica. La solución a la ecuación diferencial de tipo III es:
- ,
con la condición inicial podemos expresar como:
- .
La distribución hipérbolastica del tipo III es una familia de tres parámetros de distribuciones de probabilidad continuas con parámetros de escala. > 0, y ≥ 0 y parámetro como parámetro de forma . Cuando el parámetro= 0, la distribución hipérbolastica del tipo III se reduce a la distribución de Weibull . [9] La función de distribución acumulativa hipérbolastica del tipo III viene dada por:
- ,
y su función de densidad de probabilidad correspondiente es:
- .
La función de peligro (o tasa de falla) viene dada por:
La función de supervivencia es dado por:
La función de distribución acumulativa hiperbolastica estándar del tipo III se define como:
- ,
y su función de densidad de probabilidad correspondiente es:
- .
Propiedades
Si uno desea calcular el punto donde la población alcanza un porcentaje de su capacidad de carga , entonces se puede resolver la ecuación:
por , dónde . Por ejemplo, el medio punto se puede encontrar configurando.
Aplicaciones
Según los investigadores de células madre del Instituto McGowan de Medicina Regenerativa de la Universidad de Pittsburgh, "un modelo más nuevo [llamado hipérbolastic tipo III o] H3 es una ecuación diferencial que también describe el crecimiento celular. Este modelo permite mucha más variación y tiene se ha demostrado que predice mejor el crecimiento ". [10]
Los modelos de crecimiento hiperbólico H1, H2 y H3 se han aplicado para analizar el crecimiento del carcinoma de Ehrlich sólido utilizando una variedad de tratamientos. [11]
En ciencia animal, [12] las funciones hipérbolasticas se han utilizado para modelar el crecimiento de pollos de engorde. [13] Se utilizó el modelo hipérbolastico de tipo III para determinar el tamaño de la herida en recuperación. [14]
En el área de la cicatrización de heridas, los modelos hipérbolasticos representan con precisión el curso temporal de la cicatrización. Estas funciones se han utilizado para investigar variaciones en la velocidad de curación entre diferentes tipos de heridas y en diferentes etapas del proceso de curación, teniendo en cuenta las áreas de oligoelementos, factores de crecimiento, heridas diabéticas y nutrición. [15] [16]
Otra aplicación de las funciones hipérbolasticas es en el área del proceso de difusión estocástica , cuya función media es una curva hipérbolastica de tipo I. Se estudian las principales características del proceso y se considera la estimación de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso. [17] Con este fin, el algoritmo de optimización metaheurística de luciérnaga se aplica después de delimitar el espacio paramétrico mediante un procedimiento por etapas. Algunos ejemplos basados en rutas de muestra simuladas y datos reales ilustran este desarrollo. Una ruta de muestra de un proceso de difusión modela la trayectoria de una partícula incrustada en un fluido que fluye y sometida a desplazamientos aleatorios debido a colisiones con otras partículas, lo que se denomina movimiento browniano . [18] [19] [20] [21] [22] La función hipérbolastica del tipo III se utilizó para modelar la proliferación de células madre embrionarias y mesenquimales adultas ; [23] [24] [25] [26] y, el modelo mixto hipérbolastico de tipo II se ha utilizado para modelar datos de cáncer de cuello uterino . [27] Las curvas hiperbolasticas pueden ser una herramienta importante en el análisis del crecimiento celular, el ajuste de curvas biológicas y el crecimiento del fitoplancton . [28] [29]
En ecología y manejo forestal , los modelos hipérbolasticos se han aplicado para modelar la relación entre DAP y altura. [30]
El modelo hipérbolastico multivariable tipo III se ha utilizado para analizar la dinámica de crecimiento del fitoplancton teniendo en cuenta la concentración de nutrientes. [31]
Regresiones hiperbolasticas
Las regresiones hipérbolasticas son modelos estadísticos que utilizan funciones hipérbolas estándar para modelar una variable de resultado dicotómica . El propósito de la regresión binaria es predecir una variable de resultado binaria (dependiente) utilizando un conjunto de variables explicativas (independientes). La regresión binaria se utiliza habitualmente en muchas áreas, incluidas las ciencias médicas, de salud pública, dentales y biomédicas. Se utilizó un análisis de regresión binaria para predecir las lesiones endoscópicas en la anemia por deficiencia de hierro . [32] Además, se aplicó regresión binaria para diferenciar entre masa anexial benigna y maligna antes de la cirugía. [33]
La regresión hipérbolastica del tipo I
Dejar ser una variable de resultado binaria que puede asumir uno de dos valores mutuamente excluyentes, éxito o fracaso. Si codificamos el éxito como y el fracaso como , la probabilidad de éxito hipérbolastica del tipo I en función de variables explicativas es dado por:
- ,
dónde son parámetros del modelo. Las probabilidades de éxito son la relación entre la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso. Para la regresión hipérbolastica de tipo I, las probabilidades de éxito se denotan por y expresado por la ecuación:
- .
El logaritmo de se llama logit de Hyperbolastic de tipo I.La transformación logit se denota por y se puede escribir como:
- .
La regresión hipérbolastica del tipo II
Para la variable de resultado binaria , la probabilidad de éxito hipérbolastica del tipo II en función de variables explicativas es:
- ,
Para la regresión hipérbolastica del tipo II, las probabilidades de éxito se denotan por y viene dado por:
La transformación logit se denota por y viene dado por:
Referencias
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