Aversión al riesgo absoluto hiperbólico

En finanzas , economía y teoría de la decisión , la aversión absoluta al riesgo hiperbólico ( HARA ) ^{[1] : p.39, [2] : p.389, [3] [4] [5] [6] se} refiere a un tipo de riesgo aversión que es particularmente conveniente para modelar matemáticamente y para obtener predicciones empíricas. Se refiere específicamente a una propiedad de las funciones de utilidad de von Neumann-Morgenstern, que son típicamente funciones de la riqueza final (o alguna variable relacionada), y que describen el grado de satisfacción de quien toma las decisiones con el resultado de la riqueza. El resultado final de la riqueza se ve afectado tanto por variables aleatorias como por decisiones. Se supone que los tomadores de decisiones toman sus decisiones (como, por ejemplo, las asignaciones de cartera ) para maximizar el valor esperado de la función de utilidad.

Casos especiales notables de funciones de utilidad HARA incluyen la función de utilidad cuadrática , la función de utilidad exponencial y la función de utilidad isoelástica .

Definición

Se dice que una función de utilidad exhibe una aversión absoluta al riesgo hiperbólica si y solo si el nivel de tolerancia al riesgo , el recíproco de la aversión absoluta al riesgo, es una función lineal de la riqueza W :${\displaystyle T(W)}$ ${\displaystyle A(W)}$

${\displaystyle T(W)={\frac {1}{A(W)}}={\frac {W}{1-\gamma }}+{\frac {b}{a}},}$

donde A ( W ) se define como - U " ( W ) / U '( W ). Una función de utilidad U ( W ) tiene esta propiedad y, por lo tanto, es una función de utilidad HARA, si y solo si tiene la forma

${\displaystyle U(W)={\frac {1-\gamma }{\gamma }}\left({\frac {aW}{1-\gamma }}+b\right)^{\gamma }}$

con restricciones sobre la riqueza y los parámetros tales que y Para una parametrización dada, esta restricción coloca un límite inferior en W if y un límite superior en W if . Para el caso límite como → 1, la regla de L'Hôpital muestra que la función de utilidad se vuelve lineal en riqueza; y para el caso límite que va a 0, la función de utilidad logarítmica se convierte en: .${\displaystyle a>0}$${\displaystyle b+{\frac {aW}{1-\gamma }}>0.}$${\displaystyle \gamma <1}$${\displaystyle \gamma >1}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle U(W)={\text{log}}(aW+b)}$

Aversión absoluta al riesgo decreciente, constante y creciente

La aversión absoluta al riesgo está disminuyendo si (equivalentemente T '( W )> 0), lo cual ocurre si y solo si es finito y menor que 1; este se considera el caso empíricamente plausible, ya que implica que un inversor pondrá más fondos en activos de riesgo cuanto más fondos haya disponibles para invertir. La aversión absoluta al riesgo constante se produce cuando va hacia el infinito positivo o negativo, y el caso particularmente inverosímil de aumento de la aversión absoluta al riesgo ocurre si es mayor que uno y finito. ^[2]${\displaystyle A'(W)<0}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

Aversión relativa al riesgo decreciente, constante y creciente

La aversión relativa al riesgo se define como R ( W ) = WA ( W ); es creciente si , decreciente si y constante si . Por tanto, la aversión relativa al riesgo aumenta si b > 0 (para ), es constante si b = 0 y disminuye si b <0 (para ). ^[2]${\displaystyle R'(W)>0}$${\displaystyle R'(W)<0}$${\displaystyle R'(W)=0}$${\displaystyle \gamma \neq 1}$${\displaystyle -\infty <\gamma <1}$

Casos especiales

• La utilidad es lineal (el caso neutral al riesgo ) si .${\displaystyle \gamma =1}$
• La utilidad es cuadrática (un caso inverosímil aunque matemáticamente manejable, con una creciente aversión absoluta al riesgo) si .${\displaystyle \gamma =2}$
• La función de utilidad exponencial , que tiene una aversión absoluta al riesgo constante, ocurre si b = 1 y va al infinito negativo.${\displaystyle \gamma }$
• La función de utilidad de energía ocurre si y .${\displaystyle \gamma <1}$${\displaystyle a=1-\gamma }$

• El caso más especial de la función de utilidad isoelástica , con aversión al riesgo relativo constante, ocurre si, además, b = 0.

• La función de utilidad logarítmica ocurre cuando va a 0.${\displaystyle a=1}$${\displaystyle \gamma }$

• El caso más especial de aversión al riesgo relativo constante igual a uno - U ( W ) = log ( W ) - ocurre si, además, b = 0.

Predicciones de comportamiento resultantes de la utilidad HARA

Carteras estáticas

Si todos los inversores tienen funciones de utilidad HARA con el mismo exponente, a continuación, en presencia de un activo libre de riesgo a dos fondos teorema de separación monetaria resultados: ^[7] cada inversor posee los activos de riesgo disponibles en las mismas proporciones como lo hacen todos los demás inversores , y los inversores difieren entre sí en el comportamiento de su cartera solo con respecto a la fracción de sus carteras que se mantiene en el activo libre de riesgo y no en la colección de activos riesgosos.

Además, si un inversor tiene una función de utilidad HARA y un activo libre de riesgo está disponible, entonces las demandas del inversor del activo libre de riesgo y todos los activos riesgosos son lineales en riqueza inicial. ^[7]

En el modelo de fijación de precios de activos de capital , existe una función de utilidad representativa del inversor que depende de las funciones de utilidad y los niveles de riqueza de los inversores individuales, independientemente de los activos disponibles, si y solo si todos los inversores tienen funciones de utilidad HARA con el mismo exponente. La función de utilidad representativa depende de la distribución de la riqueza y se puede describir el comportamiento del mercado como si hubiera un solo inversor con la función de utilidad representativa. ^[1]

Con un conjunto completo de valores contingentes al estado , una condición suficiente para que los precios de los valores en equilibrio sean independientes de la distribución de las tenencias de riqueza inicial es que todos los inversores tengan funciones de utilidad HARA con exponente idéntico y tasa idéntica de preferencia temporal entre el comienzo de período y consumo al final del período. ^[8]

Carteras dinámicas en tiempo discreto

Artículo principal: Elección de cartera intertemporal § Tiempo discreto

En un contexto de optimización de cartera dinámica de tiempo discreto, según la utilidad HARA, la elección óptima de la cartera implica una miopía parcial si hay un activo libre de riesgo y existe una independencia en serie de los rendimientos de los activos: para encontrar la cartera óptima del período actual, no es necesario saber ningún futuro. información distributiva sobre los rendimientos de los activos, excepto los futuros rendimientos libres de riesgo. ^[3]

Con los rendimientos de los activos que se distribuyen de forma independiente e idéntica a lo largo del tiempo y con un activo libre de riesgo, las proporciones de los activos de riesgo son independientes de la vida restante del inversor. ^{[1] : capítulo 11}

Carteras dinámicas en tiempo continuo

Artículo principal: Elección de cartera intertemporal § Tiempo continuo

Con rendimientos de activos cuya evolución está descrita por el movimiento browniano y que se distribuyen de manera independiente e idéntica a lo largo del tiempo, y con un activo libre de riesgo, se puede obtener una solución explícita para la demanda del fondo mutuo óptimo único, y esa demanda es lineal en riqueza inicial. ^[2]

Referencias

1. Ingersoll, Jonathan E. (1987). Teoría de la toma de decisiones financieras . Totowa, Nueva Jersey: Rowman y Littlefield. ISBN 0847673596.
2. Merton, Robert C. (1971). "Consumo óptimo y reglas de cartera en un modelo de tiempo continuo". Revista de teoría económica . 3 (4): 373–413. doi : 10.1016 / 0022-0531 (71) 90038-X . hdl : 1721,1 / 63980 .(Capítulo I de su tesis doctoral; Capítulo 5 de su Continuous-Time Finance ).
3. Mossin, enero (1968). "Políticas óptimas de cartera multiperiodo". Revista de negocios . 41 (2): 215-229. doi : 10.1086 / 295078 . JSTOR 2351447 . 
4. Ljungqvist & Sargent, Teoría macroeconómica recursiva, MIT Press, Segunda edición
5. Notas de la conferencia de Zender
6. Carroll, CD; Kimball, MS (2008). "Ahorro preventivo y patrimonio preventivo". El Diccionario de Economía New Palgrave . CiteSeerX 10.1.1.67.7867 . 
7. Cass, David ; Stiglitz, Joseph (1970). "La estructura de las preferencias de los inversores y la rentabilidad de los activos, y la separabilidad en la asignación de la cartera". Revista de teoría económica . 2 (2): 122–160. doi : 10.1016 / 0022-0531 (70) 90002-5 .
8. Huang, Chi-fu ; Litzenberger, Robert H. (1988). Fundamentos de la Economía Financiera . Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 0444013105.

enlaces externos

• Solución de forma cerrada para un problema de ahorro de consumo con la utilidad HARA