En teoría de la cartera , un teorema de separación de fondos de inversión , el teorema de fondos de inversión , o la separación teorema es un teorema indica que, bajo ciertas condiciones, la cartera óptima de cualquier inversor puede construirse mediante la celebración de cada una de determinados fondos de inversiónen proporciones adecuadas, donde el número de fondos mutuos es menor que el número de activos individuales en la cartera. Aquí, un fondo mutuo se refiere a cualquier cartera de referencia específica de los activos disponibles. Hay dos ventajas de tener un teorema de fondos mutuos. Primero, si se cumplen las condiciones relevantes, puede ser más fácil (o menores en costos de transacción) para un inversionista comprar un número menor de fondos mutuos que comprar un número mayor de activos individualmente. En segundo lugar, desde un punto de vista teórico y empírico, si se puede suponer que las condiciones relevantes se cumplen efectivamente, entonces se pueden derivar y probar las implicaciones para el funcionamiento de los mercados de activos.
Separación de carteras en el análisis de varianza media
Las carteras se pueden analizar en un marco de varianza media , con cada inversor que tiene la cartera con la menor variación de rendimiento posible consistente con el nivel de rendimiento esperado elegido por ese inversor (llamado cartera de variación mínima ), si los rendimientos de los activos son conjuntamente elípticos distribuidos , incluido el caso especial en el que se distribuyen normalmente de forma conjunta . [1] [2] Bajo el análisis de varianza media, se puede demostrar [3] que cada cartera de varianza mínima dada un rendimiento esperado particular (es decir, cada cartera eficiente) puede formarse como una combinación de dos carteras eficientes. Si la cartera óptima del inversor tiene un rendimiento esperado que se encuentra entre los rendimientos esperados en dos carteras de referencia eficientes, entonces la cartera de ese inversor se puede caracterizar como compuesta por cantidades positivas de las dos carteras de referencia.
Ningún activo libre de riesgo
Para ver la separación de dos fondos en un contexto en el que no hay ningún activo libre de riesgo disponible, usando álgebra matricial , sea sea la varianza del rendimiento de la cartera, sea sea el nivel de rendimiento esperado de la cartera sobre el que se minimizará la variación de rendimiento de la cartera, dependiendo de, sea sea el vector de rendimientos esperados sobre los activos disponibles, sea sea el vector de montos a colocar en los activos disponibles, sea sea la cantidad de riqueza que se asignará en la cartera, y deje ser un vector de unos. Entonces, el problema de minimizar la variación del rendimiento de la cartera sujeto a un nivel dado de rendimiento esperado de la cartera se puede plantear como
- Minimizar
- sujeto a
- y
donde el superíndice denota la transposición de una matriz. La variación del rendimiento de la cartera en la función objetivo se puede escribir como dónde es la matriz de covarianza definida positiva de los rendimientos de los activos individuales. El lagrangiano para este problema de optimización restringida (cuyas condiciones de segundo orden se pueden demostrar que se satisfacen) es
con multiplicadores de Lagrange y . Esto se puede resolver para el vector óptimode cantidades de activos equiparando a cero los derivados con respecto a, , y , resolviendo provisionalmente la condición de primer orden para en términos de y , sustituyendo en las otras condiciones de primer orden, resolviendo para y en términos de los parámetros del modelo, y sustituyendo de nuevo en la solución provisional para . El resultado es
dónde
Por simplicidad, esto se puede escribir de manera más compacta como
dónde y son vectores de parámetros basados en los parámetros del modelo subyacente. Ahora considere dos carteras eficientes de referencia construidas con rendimientos esperados de referencia y y así dado por
y
La cartera óptima en arbitrario luego se puede escribir como un promedio ponderado de y como sigue:
Esta ecuación demuestra el teorema de separación de dos fondos para el análisis de varianza media. Para una interpretación geométrica, vea la viñeta de Markowitz .
Un activo sin riesgo
Si se dispone de un activo libre de riesgo , se aplica de nuevo un teorema de separación de dos fondos; pero en este caso, se puede elegir uno de los "fondos" para que sea un fondo muy simple que contenga únicamente el activo libre de riesgo, y el otro fondo se puede elegir para que sea uno que contenga cero tenencias del activo libre de riesgo. (Con el activo libre de riesgo denominado "dinero", esta forma del teorema se conoce como el teorema de separación monetaria ). Por lo tanto, las carteras eficientes de varianza media se pueden formar simplemente como una combinación de tenencias del activo libre de riesgo y tenencias de un fondo eficiente particular que contiene solo activos de riesgo. Sin embargo, la derivación anterior no se aplica, ya que con un activo libre de riesgo la matriz de covarianza anterior de todos los rendimientos de los activos,, tendría una fila y una columna de ceros y, por lo tanto, no sería invertible. En cambio, el problema se puede configurar como
- Minimizar
- sujeto a
dónde es el rendimiento conocido del activo libre de riesgo, es ahora el vector de cantidades que se mantendrán en los activos de riesgo , yes el vector de rentabilidad esperada de los activos de riesgo. El lado izquierdo de la última ecuación es el rendimiento esperado de la cartera, ya quees la cantidad mantenida en el activo libre de riesgo, incorporando así la restricción de suma de activos que en el problema anterior requería la inclusión de una restricción lagrangiana separada. La función objetivo se puede escribir como, donde ahora es la matriz de covarianza de los activos de riesgo únicamente. Se puede demostrar que este problema de optimización produce el vector óptimo de tenencias de activos de riesgo.
Por supuesto, esto es igual a un vector cero si , el rendimiento de la cartera libre de riesgo, en cuyo caso toda la riqueza se mantiene en el activo libre de riesgo. Se puede demostrar que la cartera con exactamente cero tenencias del activo libre de riesgo ocurre en y es dado por
También se puede demostrar (de manera análoga a la demostración en el caso anterior de dos fondos mutuos) que el vector de activos de riesgo de cada cartera (es decir, por cada valor de ) se puede formar como una combinación ponderada del último vector y el vector cero. Para una interpretación geométrica, consulte la frontera eficiente sin activo libre de riesgo .
Separación de carteras sin análisis de varianza media
Si los inversores tienen aversión hiperbólica riesgo absoluto (HARA) (incluyendo la función de utilidad de potencia , función logarítmica y la función de utilidad exponencial ), teoremas de separación pueden obtenerse sin el uso del análisis de varianza media. Por ejemplo, David Cass y Joseph Stiglitz [4] demostraron en 1970 que la separación monetaria de dos fondos se aplica si todos los inversores tienen la utilidad HARA con el mismo exponente entre sí. [5] : capítulo 4
Más recientemente, en el modelo dinámico de optimización de cartera de Çanakoğlu y Özekici, [6] el nivel de riqueza inicial del inversor (la característica distintiva de los inversores) no afecta la composición óptima de la parte de riesgo de la cartera. Schmedders da un resultado similar. [7]
Referencias
- ^ Chamberlain, G (1983). "Una caracterización de las distribuciones que implican funciones de utilidad de varianza media". Revista de teoría económica . 29 : 185-201. doi : 10.1016 / 0022-0531 (83) 90129-1 .
- ^ Owen, J .; Rabinovitch, R. (1983). "Sobre la clase de distribuciones elípticas y sus aplicaciones a la teoría de la elección de cartera". Revista de Finanzas . 38 (3): 745–752. doi : 10.1111 / j.1540-6261.1983.tb02499.x .
- ^ Merton, Robert ; Septiembre (1972). "Una derivación analítica de la frontera de la cartera eficiente" (PDF) . Revista de análisis financiero y cuantitativo . 7 (4): 1851–1872. doi : 10.2307 / 2329621 . hdl : 1721,1 / 46832 . JSTOR 2329621 .
- ^ Cass, David; Stiglitz, Joseph (1970). "La estructura de las preferencias de los inversores y la rentabilidad de los activos, y la separabilidad en la asignación de la cartera". Revista de teoría económica . 2 (2): 122–160. doi : 10.1016 / 0022-0531 (70) 90002-5 .
- ^ Huang, Chi-fu y Robert H. Litzenberger, Fundamentos de la economía financiera , Holanda Septentrional, 1988.
- ^ Çanakoğlu, Ethem; Özekici, Süleyman (2010). "Selección de cartera en mercados estocásticos con funciones de utilidad HARA". Revista europea de investigación operativa . 201 (2): 520–536. doi : 10.1016 / j.ejor.2009.03.017 .
- ^ Schmedders, Karl H. (15 de junio de 2006) "Separación de dos fondos en equilibrio general dinámico" Serie de documentos de trabajo de SSRN. https://ssrn.com/abstract=908587