En economía y finanzas , la utilidad exponencial es una forma específica de la función de utilidad , utilizada en algunos contextos debido a su conveniencia cuando el riesgo (a veces denominado incertidumbre) está presente, en cuyo caso se maximiza la utilidad esperada . Formalmente, la utilidad exponencial viene dada por:
es una variable que el tomador de decisiones económicas prefiere más, como el consumo, y es una constante que representa el grado de preferencia por el riesgo (por la aversión al riesgo , para la neutralidad del riesgo, o para la búsqueda de riesgos ). En situaciones en las que solo se permite la aversión al riesgo , la fórmula a menudo se simplifica para.
Tenga en cuenta que el término aditivo 1 en la función anterior es matemáticamente irrelevante y (a veces) se incluye solo por la característica estética de que mantiene el rango de la función entre cero y uno sobre el dominio de valores no negativos para c . La razón de su irrelevancia es que maximizar el valor esperado de la utilidad da el mismo resultado para la variable de elección que maximiza el valor esperado de ; dado que los valores esperados de utilidad (a diferencia de la función de utilidad en sí) se interpretan ordinalmente en lugar de cardinalmente , el rango y el signo de los valores esperados de utilidad no tienen importancia.
La función de utilidad exponencial es un caso especial de las funciones de utilidad de aversión absoluta al riesgo hiperbólicas .
Característica de aversión al riesgo
La utilidad exponencial implica una constante aversión absoluta al riesgo (CARA), con un coeficiente de aversión absoluta al riesgo igual a una constante:
En el modelo estándar de un activo de riesgo y un activo libre de riesgo, [1] [2] por ejemplo, esta característica implica que la tenencia óptima del activo de riesgo es independiente del nivel de riqueza inicial; así, en el margen, cualquier riqueza adicional se asignaría totalmente a tenencias adicionales del activo libre de riesgo. Esta característica explica por qué la función de utilidad exponencial se considera poco realista.
Tratabilidad matemática
Aunque la utilidad isoelástica , que exhibe una aversión al riesgo relativa constante (CRRA) , se considera más plausible (al igual que otras funciones de utilidad que exhiben una aversión absoluta al riesgo decreciente), la utilidad exponencial es particularmente conveniente para muchos cálculos.
Ejemplo de consumo
Por ejemplo, suponga que el consumo c es una función de la oferta de trabajo xy un término aleatorio: c = c ( x ) +. Luego, bajo la utilidad exponencial, la utilidad esperada viene dada por:
donde E es el operador de expectativa . Con ruido normalmente distribuido , es decir,
E ( u ( c )) se puede calcular fácilmente utilizando el hecho de que
Por lo tanto
Ejemplo de cartera de activos múltiples
Considere el problema de asignación de cartera de maximizar la utilidad exponencial esperadade la riqueza final W sujeto a
donde el signo primo indica una transposición vectorial y dondees la riqueza inicial, x es un vector columna de cantidades colocadas en los n activos de riesgo, r es un vector aleatorio de rendimientos estocásticos sobre los n activos, k es un vector de unos (entonceses la cantidad colocada en el activo libre de riesgo) y r f es el rendimiento escalar conocido del activo libre de riesgo. Suponga además que el vector estocástico r se distribuye normalmente en conjunto . Entonces la utilidad esperada se puede escribir como
dónde es el vector media del vector r yes la varianza de la riqueza final. Maximizar esto equivale a minimizar
que a su vez es equivalente a maximizar
Denotando la matriz de covarianza de r como V , la varianza de la riqueza final se puede escribir como . Por lo tanto, deseamos maximizar lo siguiente con respecto al vector de elección x de cantidades que se colocarán en los activos de riesgo:
Este es un problema fácil en el cálculo de matrices , y su solución es
De esto se puede ver que (1) las tenencias x * de los activos de riesgo no se ven afectadas por la riqueza inicial W 0 , una propiedad poco realista, y (2) la tenencia de cada activo de riesgo es menor cuanto mayor es el parámetro de aversión al riesgo a (como era de esperar intuitivamente). Este ejemplo de cartera muestra las dos características clave de la utilidad exponencial: manejabilidad bajo normalidad conjunta y falta de realismo debido a su característica de aversión absoluta al riesgo constante.
Ver también
Referencias
- ^ Flecha, KJ (1965). La teoría de la aversión al riesgo . Aspectos de la teoría de la asunción de riesgos . Helsinki: Yrjo Jahnssonin Saatio.Reimpreso en: Ensayos en la teoría de la asunción de riesgos , Markham Publ. Co., Chicago, 1971, 90–109.
- ^ Pratt, JW (1964). "Aversión al riesgo en lo pequeño y en lo grande". Econometrica . 32 (1-2): 122-136. JSTOR 1913738 .