Espacio métrico hiperbólico

En matemáticas, un espacio métrico hiperbólico es un espacio métrico que satisface ciertas relaciones métricas (que dependen cuantitativamente de un número real no negativo δ) entre puntos. La definición, introducida por Mikhael Gromov , generaliza las propiedades métricas de la geometría hiperbólica clásica y de los árboles . La hiperbolicidad es una propiedad a gran escala y es muy útil para el estudio de ciertos grupos infinitos llamados grupos hiperbólicos de Gromov .

En este párrafo damos varias definiciones de un espacio hiperbólico. Se dice que un espacio métrico es (Gromov-) hiperbólico si es -hiperbólico para algunos . ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle \ delta> 0}$

Sea un espacio métrico . El producto de Gromov de dos puntos con respecto a un tercero se define mediante la fórmula: ${\ Displaystyle (X, d)}$ ${\ Displaystyle y, z \ in X}$ ${\ Displaystyle x \ in X}$

La definición de Gromov de un espacio métrico hiperbólico es entonces la siguiente: es -hiperbólico si y solo si todos satisfacen la condición de cuatro puntos ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle x, y, z, w \ in X}$

Tenga en cuenta que si esta condición se satisface para todos y un punto base fijo , entonces se satisface para todos con una constante . ^[1] Por lo tanto, la condición de hiperbolicidad solo necesita verificarse para un punto base fijo; por esta razón, el subíndice del punto base a menudo se elimina del producto de Gromov. ${\ Displaystyle x, y, z \ en X}$ ${\ Displaystyle w_ {0}}$ ${\ Displaystyle}$ ${\ Displaystyle 2 \ delta}$

Hasta cambiar por un múltiplo constante, existe una definición geométrica equivalente que involucra triángulos cuando el espacio métrico es geodésico , es decir, dos puntos cualesquiera son puntos finales de un segmento geodésico (una imagen isométrica de un subintervalo compacto de los reales). ^[2]^[3]^[4] Tenga en cuenta que la definición a través de los productos de Gromov no requiere que el espacio sea geodésico. ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x, y \ en X}$ ${\ Displaystyle [x, y]}$ ${\ Displaystyle [a, b]}$