Serie central
En matemáticas , especialmente en los campos de la teoría de grupos y la teoría de Lie , una serie central es una especie de serie normal de subgrupos o subálgebras de Lie , que expresa la idea de que el conmutador es casi trivial. Para los grupos , esta es una expresión explícita de que el grupo es un grupo nilpotente , y para los anillos de la matriz , esta es una expresión explícita de que, de alguna manera, el anillo de la matriz consiste en su totalidad en matrices triangulares superiores con una diagonal constante.
La serie central inferior y la serie central superior (también llamada serie central descendente y serie central ascendente , respectivamente) son, a pesar de lo "central" en sus nombres, series centrales si y solo si un grupo es nilpotente .
de manera que los cocientes sucesivos sean centrales ; es decir, donde denota el grupo de los conmutadores generada por todos los elementos de la forma , con g en G y h en H . Dado que , el subgrupo es normal en G para cada i . Por lo tanto, podemos reformular la condición 'central' anterior como: es normal en G y es central en cada i . Como consecuencia, es abeliano para cada i .
![{\ Displaystyle [G, A_ {i + 1}] \ leq A_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5afe6d1e7547d8af7d3d4423ade8164c3d63eecf)
![{\ Displaystyle [G, H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62776d62a86ef1ed138d4e4f7a49ac80b9572a9c)
![{\ Displaystyle [G, A_ {i + 1}] \ leq A_ {i} \ leq A_ {i + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85630f715a1962adca9d06aa6d357726feebde4d)
Una serie central es análoga en la teoría de Lie a una bandera que es estrictamente preservada por la acción adjunta (más prosaicamente, una base en la que cada elemento está representado por una matriz triangular estrictamente superior ); compare el teorema de Engel .