En matemáticas , el investigador Sophus Lie ( / l i / LEE ) líneas iniciadas de estudio que implica la integración de las ecuaciones diferenciales , grupos de transformación , y el contacto de las esferas que han llegado a ser llamada teoría de Lie . [1] Por ejemplo, el último tema es la geometría de la esfera de Lie . Este artículo aborda su enfoque de los grupos de transformación, que es una de las áreas de las matemáticas , y fue elaborado por Wilhelm Killing y Élie Cartan .
La base de la teoría de Lie es el mapa exponencial que relaciona las álgebras de Lie con los grupos de Lie, que se denomina correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie . El tema es parte de la geometría diferencial ya que los grupos de Lie son variedades diferenciables . Los grupos de Lie evolucionan a partir de la identidad (1) y los vectores tangentes a subgrupos de un parámetro generan el álgebra de Lie. La estructura de un grupo de Lie está implícita en su álgebra, y la estructura del álgebra de Lie se expresa mediante sistemas de raíces y datos de raíces .
La teoría de Lie ha sido particularmente útil en física matemática ya que describe los grupos de transformación estándar: el grupo de Galileo , el grupo de Lorentz , el grupo de Poincaré y el grupo conforme del espacio-tiempo .
Teoría de la mentira elemental
Los grupos de un parámetro son la primera instancia de la teoría de Lie. El caso compacto surge a través de la fórmula de Euler en el plano complejo . Otros grupos de un parámetro ocurren en el plano de números complejos divididos como la hipérbola unitaria
y en el plano numérico dual como la líneaEn estos casos, los parámetros del álgebra de Lie tienen nombres: ángulo , ángulo hiperbólico y pendiente . Usando el "ángulo" apropiado [ aclaración necesaria ] , y un vector radial, se puede dar una descomposición polar a cualquiera de estos planos . Cualquiera de estas descomposiciones, o representaciones del álgebra de Lie, puede ser necesaria para traducir [ aclaración necesaria ] la subálgebra de Lie de una matriz real de 2 × 2 .
Hay un grupo de Lie clásico de 3 parámetros y un par de álgebra: los cuaterniones de longitud unitaria que se pueden identificar con las 3 esferas . Su álgebra de Lie es el subespacio de vectores de cuaterniones . Dado que el conmutador ij - ji = 2k, el corchete de Lie en este álgebra es el doble del producto cruzado del análisis vectorial ordinario .
Otro ejemplo elemental de 3 parámetros lo da el grupo de Heisenberg y su álgebra de Lie. Los tratamientos estándar de la teoría de Lie a menudo comienzan con los grupos clásicos .
Historia y alcance
Las primeras expresiones de la teoría de Lie se encuentran en libros compuestos por Sophus Lie con Friedrich Engel y Georg Scheffers desde 1888 hasta 1896.
En los primeros trabajos de Lie, la idea era construir una teoría de grupos continuos , para complementar la teoría de grupos discretos que se había desarrollado en la teoría de formas modulares , de la mano de Felix Klein y Henri Poincaré . La aplicación inicial que tenía en mente Lie era la teoría de ecuaciones diferenciales . En el modelo de la teoría de Galois y las ecuaciones polinomiales , la concepción impulsora fue la de una teoría capaz de unificar, mediante el estudio de la simetría , toda el área de las ecuaciones diferenciales ordinarias .
Según el historiador Thomas W. Hawkins, fue Élie Cartan quien hizo de la teoría de la mentira lo que es:
- Si bien Lie tenía muchas ideas fértiles, Cartan fue el principal responsable de las extensiones y aplicaciones de su teoría que la han convertido en un componente básico de las matemáticas modernas. Fue él quien, con la ayuda de Weyl , desarrolló las ideas seminales y esencialmente algebraicas de Killing en la teoría de la estructura y representación de álgebras de Lie semisimple que juega un papel fundamental en la teoría de Lie actual. Y aunque Lie imaginó aplicaciones de su teoría a la geometría, fue Cartan quien realmente las creó, por ejemplo a través de sus teorías de espacios simétricos y generalizados, incluyendo todos los aparatos asociados ( marcos móviles , formas diferenciales exteriores , etc.) [2]
Los tres teoremas de Lie
En su trabajo sobre grupos de transformación, Sophus Lie demostró tres teoremas que relacionan los grupos y álgebras que llevan su nombre. El primer teorema exhibió la base de un álgebra a través de transformaciones infinitesimales . [3] : 96 El segundo teorema exhibió constantes de estructura del álgebra como resultado de los productos del conmutador en el álgebra. [3] : 100 El tercer teorema mostró que estas constantes son antisimétricas y satisfacen la identidad de Jacobi . [3] : 106 Como escribió Robert Gilmore:
- Los tres teoremas de Lie proporcionan un mecanismo para construir el álgebra de Lie asociada con cualquier grupo de Lie. También caracterizan las propiedades de un álgebra de Lie. ¶ Los opuestos de los tres teoremas de Lie hacen lo contrario: proporcionan un mecanismo para asociar un grupo de Lie con cualquier álgebra de Lie de dimensión finita ... El teorema de Taylor permite la construcción de una función de estructura analítica canónica φ (β, α) a partir de la Lie álgebra. ¶ Estos siete teoremas - los tres teoremas de Lie y sus recíprocos, y el teorema de Taylor - proporcionan una equivalencia esencial entre los grupos de Lie y las álgebras. [3]
Aspectos de la teoría de la mentira
La teoría de la mentira se basa con frecuencia en un estudio de los grupos algebraicos lineales clásicos . Las ramas especiales incluyen grupos Weyl , grupos Coxeter y edificios . El tema clásico se ha extendido al tipo Grupos de mentira .
En 1900, David Hilbert desafió a los teóricos de la Mentira con su Quinto Problema presentado en el Congreso Internacional de Matemáticos en París.
Ver también
- Fórmula de Baker – Campbell – Hausdorff
- Lista de temas de los grupos de mentiras
- Integrador de grupos de mentiras
notas y referencias
- ^ "Los logros duraderos de Lie son las grandes teorías que trajo a la existencia. Sin embargo, estas teorías - grupos de transformación, integración de ecuaciones diferenciales, la geometría del contacto - no surgieron en el vacío. Fueron precedidas por resultados particulares de un alcance más limitado , que señaló el camino a las teorías más generales que siguieron. La correspondencia línea-esfera es sin duda un ejemplo de este fenómeno: establece tan claramente el escenario para el trabajo posterior de Lie sobre transformaciones de contacto y grupos de simetría ". R. Milson (2000) "Una visión general de la correspondencia línea-esfera de Lie", págs. 1-10 de The Geometric Study of Differential Equations , editores de JA Leslie y TP Robart, American Mathematical Society ISBN 0-8218-2964-5 , cita págs. 8,9
- ^ Thomas Hawkins (1996) Historia Mathematica 23 (1): 92–5
- ^ a b c d Robert Gilmore (1974) Grupos de mentiras, Álgebras de mentiras y algunas de sus aplicaciones , página 87, WileyISBN 0-471-30179-5
- John A. Coleman (1989) "El mayor artículo matemático de todos los tiempos", The Mathematical Intelligencer 11 (3): 29–38.
Otras lecturas
- MA Akivis y BA Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869-1951) , traducido del original ruso por VV Goldberg, capítulo 2: Grupos de Lie y álgebras de Lie, American Mathematical SocietyISBN 0-8218-4587-X .
- PM Cohn (1957) Lie Groups , Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
- Nijenhuis, Albert (1959). "Revisión: grupos de mentiras , por PM Cohn" . Boletín de la American Mathematical Society . 65 (6): 338–341. doi : 10.1090 / s0002-9904-1959-10358-x .
- JL Coolidge (1940) Una historia de los métodos geométricos , págs. 304-17, Oxford University Press (Publicaciones de Dover 2003).
- Robert Gilmore (2008) Grupos de mentiras, física y geometría: una introducción para físicos, ingenieros y químicos , Cambridge University Press ISBN 9780521884006 .
- F. Reese Harvey (1990) Spinors y calibraciones , Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 .
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- Hawkins, Thomas (2000). Emergencia de la teoría de los grupos de mentiras: un ensayo en la historia de las matemáticas, 1869-1926 . Saltador. ISBN 0-387-98963-3.
- Sattinger, David H .; Weaver, OL (1986). Grupos de mentiras y álgebras con aplicaciones a la física, geometría y mecánica . Springer-Verlag. ISBN 3-540-96240-9.
- Stillwell, John (2008). Teoría de la mentira ingenua . Saltador. ISBN 978-0-387-98289-2.
- Heldermann Verlag Diario de teoría de la mentira