En geometría hiperbólica , un hiperciclo , hipercírculo o curva equidistante es una curva cuyos puntos tienen la misma distancia ortogonal de una línea recta dada (su eje).
Dada una línea recta L y un punto P que no está en L, se puede construir un hiperciclo tomando todos los puntos Q del mismo lado de L que P, con una distancia perpendicular a L igual a la de P.
La línea L se llama eje , centro o línea de base del hiperciclo.
Las líneas perpendiculares al eje , que también es perpendicular al hiperciclo, se denominan normales del hiperciclo.
Los segmentos de la normal entre el eje y el hiperciclo se denominan radios .
Su longitud común se llama distancia o radio del hiperciclo. [1]
Los hiperciclos a través de un punto dado que comparten una tangente a través de ese punto convergen hacia un horociclo a medida que sus distancias van hacia el infinito.
Propiedades similares a las de las líneas euclidianas.
Los hiperciclos en geometría hiperbólica tienen algunas propiedades similares a las de las líneas en geometría euclidiana :
- En un plano, dada una línea y un punto que no está en él, solo hay un hiperciclo del de la línea dada (compárese con el axioma de Playfair para la geometría euclidiana).
- No hay tres puntos de un hiperciclo en un círculo.
- Un hiperciclo es simétrico a cada línea perpendicular a él. (Reflejar un hiperciclo en una línea perpendicular al hiperciclo da como resultado el mismo hiperciclo).
Propiedades similares a las de los círculos euclidianos.
Los hiperciclos en geometría hiperbólica tienen algunas propiedades similares a las de los círculos en geometría euclidiana :
- Una línea perpendicular a una cuerda de un hiperciclo en su punto medio es un radio y biseca el arco subtendido por la cuerda.
- Sea AB el acorde y M su punto medio.
- Por simetría, la recta R a través de M perpendicular a AB debe ser ortogonal al eje L.
- Por tanto, R es un radio.
- También por simetría, R bisecará el arco AB.
- El eje y la distancia de un hiperciclo se determinan de forma única .
- Supongamos que un hiperciclo C tiene dos ejes diferentes L 1 y L 2 .
- Usando la propiedad anterior dos veces con diferentes cuerdas, podemos determinar dos radios distintos R 1 y R 2 . Entonces, R 1 y R 2 tendrán que ser perpendiculares tanto a L 1 como a L 2 , lo que nos da un rectángulo. Esto es una contradicción porque el rectángulo es una figura imposible en geometría hiperbólica .
- Dos hiperciclos tienen distancias iguales si y solo si son congruentes.
- Si tienen la misma distancia, solo necesitamos hacer coincidir los ejes mediante un movimiento rígido y también coincidirán todos los radios; dado que la distancia es la misma, también coincidirán los puntos de los dos hiperciclos.
- Viceversa, si son congruentes la distancia debe ser la misma por la propiedad anterior.
- Una línea recta corta un hiperciclo como máximo en dos puntos.
- Deje que la línea K corte el hiperciclo C en dos puntos A y B. Como antes, podemos construir el radio R de C a través del punto medio M de AB. Tenga en cuenta que K es ultraparalelo al eje L porque tienen la perpendicular común R. Además, dos líneas ultraparalelas tienen una distancia mínima en la perpendicular común y distancias que aumentan monótonamente a medida que nos alejamos de la perpendicular.
- Esto significa que los puntos de K dentro de AB tendrán una distancia de L más pequeña que la distancia común de A y B de L, mientras que los puntos de K fuera de AB tendrán una distancia mayor. En conclusión, ningún otro punto de K puede estar en C.
- Dos hiperciclos se cruzan como máximo en dos puntos.
- Sean C 1 y C 2 hiperciclos que se cruzan en tres puntos A, B y C.
- Si R 1 es la recta ortogonal a AB que pasa por su punto medio, sabemos que es un radio de C 1 y C 2 .
- De manera similar, construimos R 2 , el radio que pasa por el punto medio de BC.
- R 1 y R 2 son simultáneamente ortogonales a los ejes L 1 y L 2 de C 1 y C 2 , respectivamente.
- Ya probamos que entonces L 1 y L 2 deben coincidir (de lo contrario tenemos un rectángulo).
- Entonces C 1 y C 2 tienen el mismo eje y al menos un punto común, por lo tanto tienen la misma distancia y coinciden.
- No hay tres puntos de un hiperciclo que sean colineales.
- Si los puntos A, B y C de un hiperciclo son colineales, entonces las cuerdas AB y BC están en la misma línea K. Sean R 1 y R 2 los radios que pasan por los puntos medios de AB y BC. Sabemos que el eje L del hiperciclo es la perpendicular común de R 1 y R 2 .
- Pero K es esa perpendicular común . Entonces la distancia debe ser 0 y el hiperciclo degenera en una línea.
Otras propiedades
- La longitud de un arco de un hiperciclo entre dos puntos es
- más largo que la longitud del segmento de línea entre esos dos puntos,
- más corto que la longitud del arco de uno de los dos horociclos entre esos dos puntos, y
- más corto que cualquier arco circular entre esos dos puntos.
- Un hiperciclo y un horociclo se cruzan como máximo en dos puntos.
Longitud de un arco
En el plano hiperbólico de curvatura constante -1, la longitud de un arco de un hiperciclo se puede calcular a partir del radio ry la distancia entre los puntos donde las normales se cruzan con el eje d usando la fórmula l = d cosh r . [2]
Construcción
En el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, los hiperciclos están representados por líneas y arcos circulares que intersecan el círculo límite en ángulos no rectos. La representación del eje interseca el círculo límite en los mismos puntos, pero en ángulos rectos.
En el modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico, los hiperciclos están representados por líneas y arcos circulares que cruzan la línea límite en ángulos no rectos. La representación del eje interseca la línea de límite en los mismos puntos, pero en ángulos rectos.
Referencias
- ^ Martin, George E. (1986). Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (1., corr. Springer ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 371. ISBN 3-540-90694-0.
- ^ Smogorzhevsky, AS (1982). Geometría lobachevskiana . Moscú: Mir. pag. 68 .
- Martin Gardner , Geometría no euclidiana , Capítulo 4 de The Colossal Book of Mathematics , WW Norton & Company, 2001, ISBN 978-0-393-02023-6
- MJ Greenberg, Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia , tercera edición, WH Freeman, 1994.
- George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975.
- David C. Royster, Geometrías neutrales y no euclidianas .