En geometría hiperbólica , un horociclo ( griego : ὅριον + κύκλος - borde + círculo, a veces llamado oriciclo , oricírculo o círculo límite ) es una curva cuyas geodésicas normales o perpendiculares convergen asintóticamente en la misma dirección. Es el ejemplo bidimensional de una horósfera (u orisfera ).
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/22/Horocycle_normals.svg/220px-Horocycle_normals.svg.png)
El centro de un horociclo es el punto ideal donde convergen asintóticamente todas las geodésicas normales. Dos horociclos que tienen el mismo centro son concéntricos . Si bien parece que dos horociclos concéntricos no pueden tener la misma longitud o curvatura, de hecho, dos horociclos cualesquiera son congruentes .
Un horociclo también se puede describir como el límite de los círculos que comparten una tangente en un punto dado, ya que sus radios van hacia el infinito . En geometría euclidiana , tal "círculo de radio infinito" sería una línea recta, pero en geometría hiperbólica es un horociclo (una curva).
Desde el lado convexo, el horociclo se aproxima mediante hiperciclos cuyas distancias desde su eje van hacia el infinito.
Propiedades
![Hyperbolic apeirogon example.png](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/6/67/Hyperbolic_apeirogon_example.png/200px-Hyperbolic_apeirogon_example.png)
- A través de cada par de puntos hay 2 horociclos. Los centros de los horociclos son los puntos ideales de la bisectriz perpendicular del segmento entre ellos.
- No hay tres puntos de un horociclo en una línea, círculo o hiperciclo.
- Una línea recta , círculo , hiperciclo u otro horociclo corta un horociclo como máximo en dos puntos.
- La bisectriz perpendicular de una cuerda de un horociclo es una normal del horociclo y biseca el arco subtendido por la cuerda.
- La longitud de un arco de un horociclo entre dos puntos es:
- más largo que la longitud del segmento de línea entre esos dos puntos,
- más largo que la longitud del arco de un hiperciclo entre esos dos puntos y
- más corto que la longitud de cualquier arco circular entre esos dos puntos.
- La distancia de un horociclo a su centro es infinita, y aunque en algunos modelos de geometría hiperbólica parece que los dos "extremos" de un horociclo se acercan cada vez más y más a su centro, esto no es cierto; los dos "extremos" de un horociclo se alejan cada vez más el uno del otro.
- Un apeirogon regular está circunscrito por un horociclo o un hiperciclo.
- Si C es el centro de un horociclo y A y B son puntos en el horociclo, entonces los ángulos CAB y CBA son iguales. [1]
- El área de un sector de un horociclo (el área entre dos radios y el horociclo) es finita. [2]
Curvatura gaussiana estandarizada
Cuando el plano hiperbólico tiene la curvatura gaussiana estandarizada K de −1:
- La longitud s de un arco de un horociclo entre dos puntos es:
- donde d es la distancia entre los dos puntos, y senh y cosh son funciones hiperbólicas . [3]
- La longitud de un arco de un horociclo tal que la tangente en un extremo limita paralelamente al radio a través del otro extremo es 1. [4] el área encerrada entre este horociclo y los radios es 1. [5]
- La relación de las longitudes de arco entre dos radios de dos horociclos concéntricos donde los horociclos están separados por una distancia de 1 es e : 1. [6]
Representaciones en modelos de geometría hiperbólica
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Order-3_apeirogonal_tiling_one_cell_horocycle.png/220px-Order-3_apeirogonal_tiling_one_cell_horocycle.png)
Modelo de disco de Poincaré
En el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, los horociclos están representados por círculos tangentes al círculo límite, el centro del horociclo es el punto ideal donde el horociclo toca el círculo límite.
La construcción de brújula y regla de las dos horociclos a través de dos puntos es la misma construcción de la construcción CPP para los casos especiales del problema de Apolonio donde ambos puntos están dentro del círculo.
Modelo de semiplano de Poincaré
En el modelo de semiplano de Poincaré , las horociclos se representan mediante círculos tangentes a la línea límite, en cuyo caso su centro es el punto ideal donde el círculo toca la línea límite.
Cuando el centro del horociclo es el punto ideal en entonces el horociclo es una línea paralela a la línea límite.
La construcción de la brújula y la regla en el primer caso es la misma construcción que la construcción LPP para los casos especiales del problema de Apolonio .
Modelo hiperboloide
En el modelo hiperboloide , están representados por intersecciones del hiperboloide con planos cuya normalidad se encuentra en el cono asintótico.
Métrico
Si la métrica se normaliza para tener una curvatura gaussiana -1, entonces el horociclo es una curva de curvatura geodésica 1 en cada punto.
Ver también
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Apolleangasket_symmetry.png/220px-Apolleangasket_symmetry.png)
Referencias
- ^ Sossinsky, AB (2012). Geometrías . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 141-2. ISBN 9780821875711.
- ^ Coxeter, HSM (1998). Geometría no euclidiana (6. ed.). Washington, DC: Asociación de Matemáticas. de América. pp. 243 -244. ISBN 978-0-88385-522-5.
- ^ Smogorzhevsky (1976). Geometría lobachevskiana . Moscú: Mir. pag. sesenta y cinco.
- ^ Sommerville, DMY (2005). Los elementos de la geometría no euclidiana (Unabr. Y ed. Republicada inalterada). Mineola, NY: Publicaciones de Dover. pag. 58. ISBN 0-486-44222-5.
- ^ Coxeter, HSM (1998). Geometría no euclidiana (6. ed.). Washington, DC: Asociación de Matemáticas. de América. pag. 250 . ISBN 978-0-88385-522-5.
- ^ Sommerville, DMY (2005). Los elementos de la geometría no euclidiana (Unabr. Y ed. Republicada inalterada). Mineola, NY: Publicaciones de Dover. pag. 58. ISBN 0-486-44222-5.
- HSM Coxeter (1961) Introducción a la geometría , §16.6: "Círculos, horociclos y curvas equidistantes", página 300, 1, John Wiley & Sons .
- Cuatro pilares de geometría p. 198