En geometría , el axioma de Playfair es un axioma que puede usarse en lugar del quinto postulado de Euclides (el postulado paralelo ):
En un plano , dada una línea y un punto que no está en él, como máximo se puede trazar una línea paralela a la línea dada a través del punto. [1]
Es equivalente al postulado paralelo de Euclides en el contexto de la geometría euclidiana [2] y recibió su nombre del matemático escocés John Playfair . La cláusula "como máximo" es todo lo que se necesita, ya que se puede probar a partir de los axiomas restantes que existe al menos una línea paralela. La declaración a menudo se escribe con la frase "hay un solo paralelo". En Elementos de Euclides , se dice que dos líneas son paralelas si nunca se encuentran y no se utilizan otras caracterizaciones de líneas paralelas. [3] [4]
Este axioma se utiliza no solo en la geometría euclidiana, sino también en el estudio más amplio de la geometría afín, donde el concepto de paralelismo es central. En la configuración de la geometría afín, se necesita la forma más fuerte del axioma de Playfair (donde "como máximo" se reemplaza por "uno y solo uno") ya que los axiomas de la geometría neutra no están presentes para proporcionar una prueba de existencia. La versión de Playfair del axioma se ha vuelto tan popular que a menudo se la conoce como el axioma paralelo de Euclides , [5] aunque no era la versión de Euclides del axioma. Un corolario del axioma es que la relación binaria de líneas paralelas es una relación serial .
Historia
Proclo (410-485 dC) hace claramente la declaración en su comentario sobre Euclides I.31 (Libro I, Proposición 31) [6]
En 1785 William Ludlam expresó el axioma paralelo de la siguiente manera: [7]
- Dos líneas rectas, que se encuentran en un punto, no son ambas paralelas a una tercera línea.
Playfair adoptó esta breve expresión del paralelismo euclidiano en su libro de texto Elements of Geometry (1795), que se volvió a publicar con frecuencia. Escribió [8]
- Dos líneas rectas que se cruzan entre sí no pueden ser ambas paralelas a la misma línea recta.
Playfair reconoció a Ludlam y otros por simplificar la afirmación euclidiana. En desarrollos posteriores, el punto de intersección de las dos líneas fue lo primero, y la negación de dos paralelos se expresó como un paralelo único a través del punto dado. [9]
Schopenhauer expresó su apoyo al axioma en The World as Will and Idea Vol II, Sup. cap 13.
En 1883 Arthur Cayley fue presidente de la Asociación Británica y expresó esta opinión en su discurso a la Asociación: [10]
- Mi propia opinión es que el duodécimo axioma de Euclides en su forma de Playfair no necesita demostración, sino que es parte de nuestra noción de espacio, del espacio físico de nuestra experiencia, que es la representación que se encuentra en el fondo de toda experiencia externa.
Cuando David Hilbert escribió su libro, Foundations of Geometry (1899), [11] proporcionando un nuevo conjunto de axiomas para la geometría euclidiana, utilizó la forma del axioma de Playfair en lugar de la versión euclidiana original para discutir las líneas paralelas. [12]
Relación con el quinto postulado de Euclides
El postulado paralelo de Euclides afirma:
Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos , entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos. [13]
La complejidad de esta afirmación en comparación con la formulación de Playfair es sin duda una importante contribución a la popularidad de citar el axioma de Playfair en las discusiones sobre el postulado paralelo.
Dentro del contexto de la geometría absoluta, los dos enunciados son equivalentes, lo que significa que cada uno puede probarse asumiendo el otro en presencia de los axiomas restantes de la geometría. Esto no quiere decir que los enunciados sean lógicamente equivalentes (es decir, uno puede probarse del otro usando solo manipulaciones formales de la lógica), ya que, por ejemplo, cuando se interpretan en el modelo esférico de geometría elíptica, un enunciado es verdadero y el otro no lo es. [14] Los enunciados lógicamente equivalentes tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos en los que tienen interpretaciones.
Las siguientes demostraciones asumen que todos los axiomas de geometría absoluta (neutra) son válidos.
El quinto postulado de Euclides implica el axioma de Playfair
La forma más fácil de demostrar esto es usando el teorema euclidiano (equivalente al quinto postulado) que establece que los ángulos de un triángulo suman dos ángulos rectos. Dada una líneay un punto P no en esa línea, la construcción de una línea, t , perpendicular a la dada por el punto P , y luego una perpendicular a esta perpendicular en el punto P . Esta línea es paralela porque no puede encontrarsey formar un triángulo, como se indica en la Proposición 27 del Libro 1 de los Elementos de Euclides . [15] Ahora se puede ver que no existen otros paralelos. Si n era una segunda línea que pasa por P , entonces n forma un ángulo agudo con t (ya que no es la perpendicular) y la hipótesis del quinto postulado se cumple, por lo que n cumple. [dieciséis]
El axioma de Playfair implica el quinto postulado de Euclides
Dado que el postulado de Playfair implica que solo la perpendicular a la perpendicular es un paralelo, las líneas de la construcción de Euclides deberán cortarse entre sí en un punto. También es necesario demostrar que lo harán en el lado donde los ángulos suman menos de dos ángulos rectos, pero esto es más difícil. [17]
Transitividad del paralelismo
La Proposición 30 de Euclides dice: "Dos líneas, cada una paralela a una tercera línea, son paralelas entre sí". Se observó [18] por Augustus De Morgan que esta proposición es lógicamente equivalente al axioma de Playfair. Este aviso fue narrado [19] por TL Heath en 1908. El argumento de De Morgan es el siguiente: Sea X el conjunto de pares de líneas distintas que se encuentran e Y el conjunto de pares distintos de líneas, cada una de las cuales es paralela a un único común. línea. Si z representa un par de líneas distintas, entonces la declaración,
- Para todo z , si z está en X, entonces z no está en Y ,
es el axioma de Playfair (en términos de De Morgan, No X es Y ) y su contrapositivo lógicamente equivalente ,
- Para todo z , si z está en Y entonces z no está en X ,
es Euclides I.30, la transitividad del paralelismo (No Y es X ).
Más recientemente, la implicación se ha expresado de manera diferente en términos de la relación binaria expresada por líneas paralelas : en geometría afín, la relación se toma como una relación de equivalencia , lo que significa que una línea se considera paralela a sí misma . Andy Liu [20] escribió: "Sea P un punto que no está en la línea 2. Suponga que tanto la línea 1 como la línea 3 pasan por P y son paralelas a la línea 2. Por transitividad , son paralelas entre sí y, por lo tanto, no pueden tener exactamente P en común. De ello se deduce que son la misma línea, que es el axioma de Playfair ".
Notas
- ^ Playfair 1846 , p. 29
- ^ más precisamente, en el contexto de la geometría absoluta .
- ^ Elementos de Euclides, Libro I, definición 23
- ^ Heath 1956 , vol. 1, pág. 190
- ^ por ejemplo, Rafael Artzy (1965) Linear Geometry , página 202, Addison-Wesley
- ^ Heath 1956 , vol. 1, pág. 220
- ^ William Ludlam (1785) Los rudimentos de las matemáticas , p. 145, Cambridge
- ^ Playfair 1846 , p. 11
- ^ Playfair 1846 , p. 291
- ^ William Barrett Frankland (1910) Teorías del paralelismo: una crítica histórica , página 31, Cambridge University Press
- ↑ Hilbert, David (1990) [1971], Foundations of Geometry [Grundlagen der Geometrie] , traducido por Leo Unger de la décima edición alemana (2.a ed. En inglés), La Salle, IL: Open Court Publishing, ISBN 0-87548-164-7
- ^ Eves 1963 , págs. 385-7
- ↑ George Phillips (1826) Elements of Geometry (que contiene los primeros seis libros de Euclides ), p. 3, Baldwin, Cradock y Joy
- ^ Henderson, David W .; Taimiņa, Daina (2005), Experimentando la geometría: euclidiana y no euclidiana con la historia (3ª ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall, p. 139, ISBN 0-13-143748-8
- ^ Este argumento asume más de lo necesario para probar el resultado. Hay pruebas de la existencia de paralelos que no asumen un equivalente del quinto postulado.
- ^ Greenberg 1974 , p. 107
- ↑ La prueba se puede encontrar en Heath 1956 , Vol. 1, pág. 313
- ^ Comentarios suplementarios sobre los primeros seis libros de los elementos de Euclides en el Compañero del Almanaque , 1849.
- ^ Heath 1956 , vol. 1, pág. 314
- ↑ The College Mathematics Journal 42 (5): 372
Referencias
- Playfair, John (1846). Elementos de geometría . NOSOTROS Dean.
- Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Volumen uno) , Boston: Allyn y Bacon
- Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrías euclidianas y no euclidianas / Desarrollo e historia , San Francisco: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
- Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides ([Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press , 1908] 2ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover .
- (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).