En matemáticas , la secuencia de hiperoperación [nb 1] es una secuencia infinita de operaciones aritméticas (llamadas hiperoperaciones en este contexto) [1] [11] [13] que comienza con una operación unaria (la función sucesora con n = 0). La secuencia continúa con las operaciones binarias de suma ( n = 1), multiplicación ( n = 2) y exponenciación ( n = 3).
Después de eso, la secuencia procede con más operaciones binarias que se extienden más allá de la exponenciación, utilizando la asociatividad por la derecha . Para las operaciones más allá de la exponenciación, el n- ésimo miembro de esta secuencia es nombrado por Reuben Goodstein después del prefijo griego de n con el sufijo -ation (como tetration ( n = 4), pentation ( n = 5), hexadecimación ( n = 6) ), etc.) [5] y se puede escribir usando n - 2 flechas en la notación de flecha hacia arriba de Knuth . Cada hiperoperación puede entenderse de forma recursiva en términos de la anterior por:
También se puede definir de acuerdo con la parte de la regla de recursividad de la definición, como en la versión de flecha hacia arriba de Knuth de la función de Ackermann :
Esto se puede usar para mostrar fácilmente números mucho más grandes que los que puede hacer la notación científica , como el número de Skewes y googolplexplex (p. Ej.es mucho más grande que el número de Skewes y el googolplexplex), pero hay algunos números que ni siquiera ellos pueden mostrar fácilmente, como el número de Graham y TREE (3) .
Esta regla de recursividad es común a muchas variantes de hiperoperaciones.
Definición
La secuencia de hiperoperación es la secuencia de operaciones binarias , definido recursivamente como sigue:
(Tenga en cuenta que para n = 0, la operación binaria se reduce esencialmente a una operación unaria ( función sucesora ) al ignorar el primer argumento).
Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce las operaciones aritméticas básicas de sucesor (que es una operación unaria), suma , multiplicación y exponenciación , respectivamente, como
Las operaciones H para n ≥ 3 se pueden escribir en la notación de flecha hacia arriba de Knuth como
Entonces, ¿cuál será la siguiente operación después de la exponenciación? Definimos la multiplicación para que y exponenciación definida para que por lo que parece lógico definir la siguiente operación, tetración, de modo que con una torre de tres 'a'. De manera análoga, la pentación de (a, 3) será tetración (a, tetración (a, a)), con tres "a" en ella.
La notación de Knuth podría extenderse a índices negativos ≥ −2 de tal manera que coincida con toda la secuencia de hiperoperación, excepto por el retraso en la indexación:
Por tanto, las hiperoperaciones pueden verse como una respuesta a la pregunta "qué sigue" en la secuencia : sucesor , suma , multiplicación , exponenciación , etc. Señalando que
Se ilustra la relación entre las operaciones aritméticas básicas, lo que permite que las operaciones superiores se definan naturalmente como antes. Los parámetros de la jerarquía de hiperoperación a veces se denominan por su término de exponenciación análogo; [14] por lo que una es la base de , b es el exponente (o hyperexponent ), [12] y n es el rango (o grado ), [6] y, además,se lee como "la b º n -ation de un ", por ejemplo, se lee como "la novena tetración de 7", y se lee como "la 789ª 123-ación de 456".
En términos comunes, las hiperoperaciones son formas de componer números que aumentan en crecimiento en función de la iteración de la hiperoperación anterior. Los conceptos de sucesor, suma, multiplicación y potenciación son todos hiperoperaciones; la operación sucesora (que produce x + 1 a partir de x ) es la más primitiva, el operador de suma especifica el número de veces que se debe sumar 1 a sí mismo para producir un valor final, la multiplicación especifica el número de veces que se debe sumar un número en sí mismo, y la exponenciación se refiere al número de veces que un número debe multiplicarse por sí mismo.
Ejemplos de
A continuación se muestra una lista de las primeras siete (0 a 6) hiperoperaciones ( 0⁰ se define como 1).
norte | Operación, H n ( a , b ) | Definición | Nombres | Dominio |
---|---|---|---|---|
0 | o | hyper0, incremento, sucesor , zeration | Arbitrario | |
1 | o | hyper1, además | Arbitrario | |
2 | o | hiper2, multiplicación | Arbitrario | |
3 | o | hyper3, exponenciación | b real, con algunas extensiones de varios valores a números complejos | |
4 | o | hiper4, tetración | a ≥ 0 o un número entero, b un número entero ≥ −1 [nb 2] (con algunas extensiones propuestas) | |
5 | hyper5, pentación | a , b enteros ≥ −1 [nb 2] | ||
6 | hyper6, maleficio | a , b enteros ≥ −1 [nb 2] |
Casos especiales
H n (0, b ) =
- b + 1, cuando n = 0
- b , cuando n = 1
- 0, cuando n = 2
- 1, cuando n = 3 y b = 0 [nb 3] [nb 4]
- 0, cuando n = 3 yb > 0 [nb 3] [nb 4]
- 1, cuando n > 3 y b es par (incluido 0)
- 0, cuando n > 3 y b es impar
H n (1, b ) =
- 1, cuando n ≥ 3
H n ( a , 0) =
- 0, cuando n = 2
- 1, cuando n = 0, on ≥ 3
- a , cuando n = 1
H n ( a , 1) =
- a, cuando n ≥ 2
H n ( a , a ) =
- H n + 1 ( a , 2), cuando n ≥ 1
H n ( a , −1) = [nb 2]
- 0, cuando n = 0, on ≥ 4
- a - 1, cuando n = 1
- - a , cuando n = 2
- 1/a, cuando n = 3
H n (2, 2) =
- 3, cuando n = 0
- 4, cuando n ≥ 1, fácilmente demostrable de forma recursiva.
Historia
Una de las primeras discusiones sobre las hiperoperaciones fue la de Albert Bennett [6] en 1914, quien desarrolló parte de la teoría de las hiperoperaciones conmutativas (ver más abajo ). Aproximadamente 12 años después, Wilhelm Ackermann definió la función[15] que se parece un poco a la secuencia de hiperoperación.
En su artículo de 1947, [5] RL Goodstein introdujo la secuencia específica de operaciones que ahora se llaman hiperoperaciones , y también sugirió los nombres griegos tetración , pentación, etc., para las operaciones extendidas más allá de la exponenciación (porque corresponden a los índices 4, 5, etc.). Como una función de tres argumentos, por ejemplo,, la secuencia de hiperoperación en su conjunto se considera una versión de la función de Ackermann original - recursivo pero no recursivo primitivo - modificado por Goodstein para incorporar la función sucesora primitiva junto con las otras tres operaciones básicas de aritmética ( suma , multiplicación , exponenciación ), y hacer una extensión más fluida de estas más allá de la exponenciación.
La función de Ackermann original de tres argumentos usa la misma regla de recursividad que la versión de Goodstein (es decir, la secuencia de hiperoperación), pero se diferencia de ella de dos maneras. Primero,define una secuencia de operaciones a partir de la suma ( n = 0) en lugar de la función sucesora , luego la multiplicación ( n = 1), la exponenciación ( n = 2), etc. En segundo lugar, las condiciones iniciales para resulta en , difiriendo así de las hiperoperaciones más allá de la exponenciación. [7] [16] [17] El significado de b + 1 en la expresión anterior es que = , donde b cuenta el número de operadores (exponenciaciones), en lugar de contar el número de operandos ("a" s) como lo hace la b eny así sucesivamente para las operaciones de nivel superior. (Consulte el artículo sobre la función de Ackermann para obtener más detalles).
Notaciones
Esta es una lista de notaciones que se han utilizado para hiperoperaciones.
Nombre | Notación equivalente a | Comentario |
---|---|---|
Notación de flecha hacia arriba de Knuth | Utilizado por Knuth [18] (para n ≥ 3), y se encuentra en varios libros de referencia. [19] [20] | |
Notación de Hilbert | Utilizado por David Hilbert . [21] | |
Notación de Goodstein | Utilizado por Reuben Goodstein . [5] | |
Función original de Ackermann | Utilizado por Wilhelm Ackermann (para n ≥ 1) [15] | |
Función de Ackermann-Péter | Esto corresponde a hiperoperaciones para base 2 ( a = 2) | |
Notación de Nambiar | Utilizado por Nambiar (para n ≥ 1) [22] | |
Notación de superíndice | Utilizado por Robert Munafo . [10] | |
Notación de subíndice (para hiperoperaciones inferiores) | Utilizado para hiperoperaciones inferiores por Robert Munafo. [10] | |
Notación de operador (para "operaciones extendidas") | Utilizado para hiperoperaciones inferiores por John Doner y Alfred Tarski (para n ≥ 1). [23] | |
Notación de corchetes | Se utiliza en muchos foros en línea; conveniente para ASCII . | |
Notación de flecha encadenada de Conway | Utilizado por John Horton Conway (para n ≥ 3) |
Variante a partir de un
En 1928, Wilhelm Ackermann definió una función de 3 argumentosque evolucionó gradualmente a una función de 2 argumentos conocida como función de Ackermann . La función original de Ackermann era menos similar a las hiperoperaciones modernas, porque sus condiciones iniciales comienzan con para todo n > 2. También asignó la adición an = 0, la multiplicación an = 1 y la potenciación an = 2, por lo que las condiciones iniciales producen operaciones muy diferentes para la tetración y más allá.
norte | Operación | Comentario |
---|---|---|
0 | ||
1 | ||
2 | ||
3 | Una forma compensada de tetración . La iteración de esta operación es diferente a la iteración de la tetración. | |
4 | No confundir con pentation . |
Otra condición inicial que se ha utilizado es (donde la base es constante ), debido a Rózsa Péter, que no forma una jerarquía de hiperoperación.
Variante a partir de 0
En 1984, CW Clenshaw y FWJ Olver comenzaron la discusión sobre el uso de hiperoperaciones para prevenir desbordamientos de coma flotante . [24] Desde entonces, muchos otros autores [25] [26] [27] han renovado el interés en la aplicación de hiperoperaciones a la representación de punto flotante . (Dado que H n ( a , b ) se definen todos para b = -1.) Al discutir la tetración , Clenshaw et al. asumió la condición inicial, lo que crea otra jerarquía de hiperoperación. Al igual que en la variante anterior, la cuarta operación es muy similar a la tetración , pero compensada por uno.
norte | Operación | Comentario |
---|---|---|
0 | ||
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | Una forma compensada de tetración . La iteración de esta operación es muy diferente a la iteración de la tetración . | |
5 | No confundir con pentation . |
Hiperoperaciones inferiores
Una alternativa para estas hiperoperaciones se obtiene mediante la evaluación de izquierda a derecha. Desde
definir (con ° o subíndice)
con
Esto fue extendido a números ordinales por Doner y Tarski, [23] [Definición 1] por:
De la Definición 1 (i), el Corolario 2 (ii) y el Teorema 9 se deduce que, para a ≥ 2 y b ≥ 1, que [ ¿investigación original? ]
Pero esto sufre una especie de colapso, al no formar la "torre de energía" tradicionalmente esperada de los hiperoperadores: [23] [Teorema 3 (iii)] [nb 5]
Si α ≥ 2 y γ ≥ 2, [23] [Corolario 33 (i)] [nb 5]
norte | Operación | Comentario |
---|---|---|
0 | incremento, sucesor, zeration | |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | No confundir con tetración . | |
5 | No confundir con pentation . Similar a la tetración . |
Hiperoperaciones conmutativas
Las hiperoperaciones conmutativas fueron consideradas por Albert Bennett ya en 1914, [6] que es posiblemente la observación más temprana sobre cualquier secuencia de hiperoperación. Las hiperoperaciones conmutativas están definidas por la regla de recursividad
que es simétrica en un y b , es decir, todos hyperoperations son conmutativos. Esta secuencia no contiene exponenciación , por lo que no forma una jerarquía de hiperoperación.
norte | Operación | Comentario |
---|---|---|
0 | Máximo suave | |
1 | ||
2 | Esto se debe a las propiedades del logaritmo . | |
3 | ||
4 | No confundir con tetración . |
Sistemas de numeración basados en la secuencia de hiperoperación
RL Goodstein [5] utilizó la secuencia de hiperoperadores para crear sistemas de numeración para los enteros no negativos. La llamada representación hereditaria completa del entero n , en el nivel k y en la base b , se puede expresar de la siguiente manera usando solo los primeros k hiperoperadores y usando como dígitos solo 0, 1, ..., b - 1, junto con la base b en sí mismo:
- Para 0 ≤ n ≤ b -1, n se representa simplemente por el dígito correspondiente.
- Para n > b -1, la representación de n se encuentra recursivamente, primero representando n en la forma
- b [ k ] x k [ k - 1] x k -1 [ k - 2] ... [2] x 2 [1] x 1
- donde x k , ..., x 1 son los enteros más grandes que satisfacen (a su vez)
- b [ k ] x k ≤ n
- b [ k ] x k [ k - 1] x k - 1 ≤ n
- ...
- b [ k ] x k [ k - 1] x k - 1 [ k - 2] ... [2] x 2 [1] x 1 ≤ n
- Cualquier x i que exceda de b -1 se reexpresa de la misma manera, y así sucesivamente, repitiendo este procedimiento hasta que la forma resultante contenga solo los dígitos 0, 1, ..., b -1, junto con la base b .
Los paréntesis innecesarios pueden evitarse dando a los operadores de nivel superior una prioridad más alta en el orden de evaluación; por lo tanto,
las representaciones de nivel 1 tienen la forma b [1] X, con X también de esta forma;
las representaciones de nivel 2 tienen la forma b [2] X [1] Y, con X , Y también de esta forma;
las representaciones de nivel 3 tienen la forma b [3] X [2] Y [1] Z, con X , Y , Z también de esta forma;
las representaciones de nivel 4 tienen la forma b [4] X [3] Y [2] Z [1] W, con X , Y , Z , W también de esta forma;
y así.
En este tipo de representación hereditaria base- b , la base misma aparece en las expresiones, así como los "dígitos" del conjunto {0, 1, ..., b -1}. Esto se compara con la representación en base 2 ordinaria cuando esta última se escribe en términos de la base b ; Por ejemplo, en notación de base 2 ordinaria, 6 = (110) 2 = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0, mientras que la representación hereditaria de nivel 3 base 2 es 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [ 1] 0). Las representaciones hereditarias se pueden abreviar omitiendo cualquier instancia de [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, etc .; por ejemplo, la representación anterior de nivel 3 en base 2 de 6 abrevia a 2 [3] 2 [1] 2.
Ejemplos: Las representaciones únicas en base 2 del número 266 , en los niveles 1, 2, 3, 4 y 5 son las siguientes:
- Nivel 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (con 133 2s)
- Nivel 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)
- Nivel 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2
- Nivel 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2
- Nivel 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2
Ver también
- Números grandes
Notas
- ^ Históricamente, lassecuencias similares a la secuencia de hiperoperación han recibido muchos nombres, entre ellos: la función de Ackermann [1] (3 argumentos), la jerarquía de Ackermann , [2] la jerarquía de Grzegorczyk [3] [4] (que es más general), la versión de Goodstein de la función de Ackermann , [5] operación del enésimo grado , [6] exponenciación iterada de x con y , [7] operaciones de flecha , [8] reihenalgebra [9] e hiper-n . [1] [9] [10] [11] [12]
- ^ a b c d Sea x = a [ n ] (- 1). Por la fórmula recursiva, a [ n ] 0 = a [ n - 1] ( a [ n ] (- 1)) ⇒ 1 = a [ n - 1] x . Una solución es x = 0, porque a [ n - 1] 0 = 1 por definición cuando n ≥ 4. Esta solución es única porque a [ n - 1] b > 1 para todo a > 1, b > 0 (prueba por recursividad).
- ^ a b Para obtener más detalles, consulte Potencias de cero .
- ^ a b Para obtener más detalles, consulte Cero elevado a cero .
- ^ a b La adición ordinal no es conmutativa; ver aritmética ordinal para más información
Referencias
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