En matemáticas , pentation (o hiper-5 ) es la siguiente hiperoperación después de la tetration y antes de la hexadecimación. Se define como tetración iterada (repetida), al igual que la tetración es exponenciación iterada . [1] Se trata de una operación binaria definida con dos números de una y b , donde una se tetrated a sí mismo b-1 veces. Por ejemplo, usando la notación de hiperoperación para pentación y tetración, significa tetratearse 2 a sí mismo 2 veces, o . Esto luego se puede reducir a
Etimología
La palabra "pentación" fue acuñada por Reuben Goodstein en 1947 a partir de las raíces penta- (cinco) e iteración . Es parte de su esquema de nomenclatura general para hiperoperaciones . [2]
Notación
Hay poco consenso sobre la notación de pentation; como tal, hay muchas formas diferentes de escribir la operación. Sin embargo, algunos son más utilizados que otros, y algunos tienen claras ventajas o desventajas en comparación con otros.
- La pentacin se puede escribir como una hiperoperacin como. En este formato,puede interpretarse como el resultado de aplicar repetidamente la función, por repeticiones, comenzando por el número 1. Análogamente, , tetración, representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función , por repeticiones, comenzando por el número 1, y la pentación representa el valor obtenido al aplicar repetidamente la función , por repeticiones, comenzando por el número 1. [3] [4] Esta será la notación utilizada en el resto del artículo.
- En la notación de flecha hacia arriba de Knuth , se representa como o . En esta notación, representa la función de exponenciación y representa tetración. La operación se puede adaptar fácilmente para la hexadecimal agregando otra flecha.
- Otra notación propuesta es , aunque esto no es extensible a hiperoperaciones superiores. [6]
Ejemplos de
Los valores de la función de pentación también pueden obtenerse de los valores de la cuarta fila de la tabla de valores de una variante de la función de Ackermann : si se define por la recurrencia de Ackermann con las condiciones iniciales y , luego . [7]
Como tetración, su operación base, no se ha extendido a alturas no enteras, pentación Actualmente sólo está definido para valores enteros de un y b , donde un > 0 y b algunos otros valores enteros que ≥ -1, y pueden ser definidos de forma exclusiva. Como con todos los hyperoperations de orden 3 ( exponenciación ) y superior, pentation tiene las siguientes casos triviales (identidades) que se mantiene para todos los valores de una y b dentro de su dominio:
Además, también podemos definir:
Aparte de los casos triviales que se muestran arriba, la pentación genera números extremadamente grandes muy rápidamente, de modo que solo hay unos pocos casos no triviales que producen números que se pueden escribir en notación convencional, como se ilustra a continuación:
- (se muestra aquí en notación exponencial iterada, ya que es demasiado grande para escribirse en notación convencional. Nota )
- (un número con más de 10 153 dígitos)
- (un número con más de 10 10 2184 dígitos)
Ver también
Referencias
- ^ Perstein, Millard H. (junio de 1962), "Algoritmo 93: Aritmética de orden general", Comunicaciones del ACM , 5 (6): 344, doi : 10.1145 / 367766.368160 , S2CID 581764.
- ^ Goodstein, RL (1947), "Ordinales transfinitos en la teoría de números recursivos", The Journal of Symbolic Logic , 12 (4): 123-129, doi : 10.2307 / 2266486 , JSTOR 2266486 , MR 0022537.
- ^ Knuth, DE (1976), "Matemáticas e informática: afrontar la finitud", Science , 194 (4271): 1235-1242, Bibcode : 1976Sci ... 194.1235K , doi : 10.1126 / science.194.4271.1235 , PMID 17797067 , S2CID 1690489.
- ^ Blakley, GR; Borosh, I. (1979), "Los poderes iterados de Knuth", Advances in Mathematics , 34 (2): 109-136, doi : 10.1016 / 0001-8708 (79) 90052-5 , MR 0549780.
- ^ Conway, John Horton ; Guy, Richard (1996), El libro de los números , Springer, pág. 61, ISBN 9780387979939.
- ^ http://www.tetration.org/Tetration/index.html
- ^ Nambiar, KK (1995), "Funciones de Ackermann y ordinales transfinitos", Letras de matemáticas aplicadas , 8 (6): 51–53, doi : 10.1016 / 0893-9659 (95) 00084-4 , MR 1368037.