En matemáticas , la tetración (o hiper-4 ) es una operación basada en exponenciación iterada o repetida . Es el siguiente hyperoperation después de exponenciación , pero antes de pentation . La palabra fue acuñada por Reuben Louis Goodstein de tetra- (cuatro) e iteración .
Bajo la definición como exponenciación repetida, la notación de Rudy Rucker medio , donde n copias de a se repiten mediante exponenciación, de derecha a izquierda, es decir, la aplicación de exponenciaciónveces. n se llama la "altura" de la función, mientras que a se llama la "base", análoga a la exponenciación. Se leería como "la n- ésima tetración de a ".
La tetración también se define de forma recursiva como
- ,
permitiendo intentos de extender la tetración a números no naturales como números reales y complejos.
Los dos inversas de tetración se llaman el super-raíz y la super-logaritmo , de forma análoga a la raíz n-ésima y las funciones logarítmicas. Ninguna de las tres funciones es elemental .
La tetración se utiliza para la notación de números muy grandes .
Introducción
Las primeras cuatro hiperoperaciones se muestran aquí, y la tetración se considera la cuarta de la serie. La sucesión de la operación unaria , definida como, se considera la operación cero.
- Adición
- n copias de 1 agregadas a a .
- Multiplicación
- n copias de un combinado por adición.
- Exponenciación
- n copias de un combinado por multiplicación.
- Tetración
- n copias de un combinado por exponenciación, de derecha a izquierda. [1]
La sucesión, ( a ′ = a + 1) , es la operación más básica; mientras que la suma ( a + n ) es una operación primaria, para la suma de números naturales se puede pensar como una sucesión encadenada de n sucesores de a ; la multiplicación ( a × n ) también es una operación primaria, aunque para los números naturales se puede considerar análogamente como una suma encadenada que implica n números de a . La exponenciación se puede considerar como una multiplicación encadenada que incluye n números de a y tetración () como una potencia encadenada que involucra n números a . Cada una de las operaciones anteriores se definen iterando la anterior; [2] sin embargo, a diferencia de las operaciones anteriores, la tetración no es una función elemental .
El parámetro a se denomina base , mientras que el parámetro n puede denominarse altura . En la definición original de tetración, el parámetro de altura debe ser un número natural; por ejemplo, sería ilógico decir "tres elevado a sí mismo cinco veces negativo" o "cuatro elevado a sí mismo la mitad de un tiempo". Sin embargo, así como la suma, la multiplicación y la exponenciación pueden definirse de manera que permitan extensiones a números reales y complejos, se han realizado varios intentos para generalizar la tetración a números negativos, números reales y números complejos. Una de esas formas de hacerlo es utilizar una definición recursiva de tetración; por cualquier real positivo y entero no negativo , podemos definir recursivamente como: [2]
La definición recursiva es equivalente a la exponenciación repetida para alturas naturales ; sin embargo, esta definición permite extensiones a otras alturas como, , y además, muchas de estas extensiones son áreas de investigación activa.
Terminología
Hay muchos términos para la tetración, cada uno de los cuales tiene alguna lógica detrás, pero algunos no se han vuelto de uso común por una razón u otra. A continuación, se muestra una comparación de cada término con su justificación y contrarrecuencia.
- El término tetración , introducido por Goodstein en su artículo de 1947 Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory [3] (generalizando la representación de base recursiva usada en el teorema de Goodstein para usar operaciones superiores), ha ganado dominio. También se popularizó en Rudy Rucker 's Infinity y la mente .
- El término superexponentiation fue publicado por Bromer en su artículo Superexponentiation en 1987. [4] Fue utilizado anteriormente por Ed Nelson en su libro Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
- El término hiperpotencia [5] es una combinación natural de hiper y poder , que describe acertadamente la tetración. El problema radica en el significado de hiper con respecto a la secuencia de hiperoperación . Al considerar las hiperoperaciones, el término hiper se refiere a todos los rangos, y el término super se refiere al rango 4 o tetración. Entonces, bajo estas consideraciones, la hiperpotencia es engañosa, ya que solo se refiere a la tetración.
- El término torre de energía [6] se utiliza ocasionalmente, en la forma "la torre de energía de orden n " para. Sin embargo, este es un nombre inapropiado porque la tetración no se puede expresar con funciones de potencia iteradas (ver arriba), ya que es una función exponencial iterada .
Debido en parte a una terminología compartida y un simbolismo de notación similar , la tetración a menudo se confunde con funciones y expresiones estrechamente relacionadas. A continuación, se muestran algunos términos relacionados:
Terminología | Formulario |
---|---|
Tetración | |
Exponenciales iterados | |
Exponenciales anidados (también torres) | |
Exponenciales infinitas (también torres) |
En las dos primeras expresiones una es la base de , y el número de veces que una aparece es la altura (un complemento para x ). En la tercera expresión, n es la altura , pero cada una de las bases es diferente.
Se debe tener cuidado cuando se hace referencia a exponenciales iteradas, ya que es común llamar expresiones de esta forma iterativa exponenciación, que es ambigua, ya que podemos estar hablando de iteradas poderes o reiterado exponenciales .
Notación
Hay muchos estilos de notación diferentes que se pueden usar para expresar la tetración. Algunas notaciones también se pueden usar para describir otras hiperoperaciones , mientras que algunas se limitan a la tetración y no tienen extensión inmediata.
Nombre | Formulario | Descripción |
---|---|---|
Notación de Rudy Rucker | Utilizado por Maurer [1901] y Goodstein [1947]; El libro Infinity and the Mind de Rudy Rucker popularizó la notación. [nb 1] | |
Notación de flecha hacia arriba de Knuth | Permite la extensión colocando más flechas o, aún más poderosamente, una flecha indexada. | |
Notación de flecha encadenada de Conway | Permite la extensión aumentando el número 2 (equivalente a las extensiones anteriores), pero también, aún más poderosamente, extendiendo la cadena. | |
Función de Ackermann | Permite el caso especial debe escribirse en términos de la función de Ackermann. | |
Notación exponencial iterada | Permite una extensión simple a exponenciales iterados a partir de valores iniciales distintos de 1. | |
Notaciones Hooshmand [7] | Utilizado por MH Hooshmand [2006]. | |
Hyperoperation notaciones | Permite la extensión aumentando el número 4; esto le da a la familia de hiperoperaciones . | |
Notación de doble intercalación | a^^n | Dado que la flecha hacia arriba se usa de manera idéntica al signo de intercalación ( ^ ), la tetración se puede escribir como ( ^^ ); conveniente para ASCII . |
Una notación anterior usa notación exponencial iterada; esto se define en general como sigue:
- con n a s.
No hay tantas notaciones para exponenciales iterados, pero aquí hay algunas:
Nombre | Formulario | Descripción |
---|---|---|
Notación estándar | Euler acuñó la notacióny notación de iteración ha existido tanto tiempo. | |
Notación de flecha hacia arriba de Knuth | Permite superpotencias y función superexponencial aumentando el número de flechas; utilizado en el artículo sobre grandes números . | |
Notación de texto | exp_a^n(x) | Basado en notación estándar; conveniente para ASCII . |
Notación J | x^^:(n-1)x | Repite la exponenciación. Ver J (lenguaje de programación) [8] |
Ejemplos de
Debido al crecimiento extremadamente rápido de la tetración, la mayoría de los valores de la siguiente tabla son demasiado grandes para escribirlos en notación científica. En estos casos, se usa notación exponencial iterada para expresarlos en base 10. Los valores que contienen un punto decimal son aproximados.
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
---|---|---|---|---|
2 | 4 | dieciséis | 65,536 | 2 65,536 o (2,0035 × 10 19,728 ) |
3 | 27 | 7,625,597,484,987 | (3,6 × 10 12 dígitos) | |
4 | 256 | 1.34078 × 10 154 | (8,1 × 10153 dígitos) | |
5 | 3.125 | 1,91101 × 10 2,184 | (1,3 × 10 2184 dígitos) | |
6 | 46,656 | 2,65912 × 10 36,305 | (2,1 × 10 36.305 dígitos) | |
7 | 823,543 | 3.75982 × 10 695,974 | (3,2 × 10 695,974 dígitos) | |
8 | 16.777.216 | 6.01452 × 10 15.151.335 | (5,4 × 10 15,151,335 dígitos) | |
9 | 387,420,489 | 4.28125 × 10 369,693,099 | (4,1 × 10 369 693 099 dígitos) | |
10 | 10,000,000,000 | 10 10,000,000,000 | (10 10,000,000,000 + 1 dígito) |
Propiedades
La tetración tiene varias propiedades que son similares a la exponenciación, así como propiedades que son específicas de la operación y se pierden o se obtienen con la exponenciación. Debido a que la exponenciación no conmuta , las reglas del producto y la potencia no tienen un análogo con la tetración; Las declaraciones y no son necesariamente ciertas para todos los casos. [9]
Sin embargo, la tetración sigue una propiedad diferente, en la que . Este hecho se muestra más claramente utilizando la definición recursiva. De esta propiedad se desprende una prueba de que, Que permite la conmutación de b y c en ciertas ecuaciones. La prueba es la siguiente:
Cuando un número x y 10 son coprimos , es posible calcular los últimos m dígitos decimales deusando el teorema de Euler , para cualquier entero m .
Dirección de evaluación
Al evaluar la tetración expresada como una "torre de exponenciación", la exponenciación en serie se realiza primero en el nivel más profundo (en la notación, en el vértice). [1] Por ejemplo:
Este orden es importante porque la exponenciación no es asociativa y evaluar la expresión en el orden opuesto conducirá a una respuesta diferente:
Evaluar la expresión de izquierda a derecha se considera menos interesante; evaluar de izquierda a derecha, cualquier expresión se puede simplificar para ser . [10] Debido a esto, las torres deben evaluarse de derecha a izquierda (o de arriba hacia abajo). Los programadores informáticos se refieren a esta elección como asociativa por la derecha .
Extensiones
La tetración se puede extender de dos formas diferentes; en la ecuación, tanto la base a como la altura n se pueden generalizar usando la definición y propiedades de la tetración. Aunque la base y la altura pueden extenderse más allá de los números enteros no negativos a diferentes dominios , incluidos, funciones complejas como y alturas de n infinito , las propiedades más limitadas de la tetración reducen la capacidad de extender la tetración.
Ampliación de dominio para bases
Base cero
El exponencial no se define de forma coherente. Así, las tetracionesno están claramente definidos por la fórmula dada anteriormente. Sin emabargo,está bien definido y existe: [11]
Así podríamos definir consistentemente . Esto es análogo a definir.
Bajo esta extensión, , entonces la regla de la definición original todavía se mantiene.
Bases complejas
Desde los números complejos se pueden elevar a potencias, tetración se puede aplicar a las bases de la forma z = un + bi (donde un y b son real). Por ejemplo, en n z con z = i , la tetración se logra utilizando la rama principal del logaritmo natural; usando la fórmula de Euler obtenemos la relación:
Esto sugiere una definición recursiva para n +1 i = a ′ + b′i dado cualquier n i = a + bi :
Se pueden derivar los siguientes valores aproximados:
Valor aproximado | |
---|---|
I | |
0,2079 | |
0,9472 + 0,3208 i | |
0.0501 + 0.6021 i | |
0,3872 + 0,0305 i | |
0,7823 + 0,5446 i | |
0.1426 + 0.4005 i | |
0,5198 + 0,1184 i | |
0,5686 + 0,6051 i |
Al resolver la relación inversa, como en la sección anterior, se obtiene el 0 i = 1 esperado y −1 i = 0 , con valores negativos de n que dan resultados infinitos en el eje imaginario. Trazada en el plano complejo , toda la secuencia gira en espiral hasta el límite 0,4383 + 0,3606 i , que podría interpretarse como el valor donde n es infinito.
Estas secuencias de tetraciones se han estudiado desde la época de Euler, pero se comprenden poco debido a su comportamiento caótico. La mayoría de las investigaciones publicadas históricamente se han centrado en la convergencia de la función exponencial iterada infinitamente. La investigación actual se ha beneficiado enormemente con la llegada de poderosas computadoras con software matemático fractal y simbólico. Gran parte de lo que se sabe sobre la tetración proviene del conocimiento general de la dinámica compleja y de la investigación específica del mapa exponencial. [ cita requerida ]
Extensiones del dominio para diferentes alturas
Alturas infinitas
La tetración se puede extender a alturas infinitas ; es decir, por cierto una y n valores en, existe un resultado bien definido para una n infinita . Esto se debe a que para las bases dentro de un cierto intervalo, la tetración converge a un valor finito cuando la altura tiende al infinito . Por ejemplo, converge a 2 y, por lo tanto, se puede decir que es igual a 2. La tendencia hacia 2 se puede ver al evaluar una pequeña torre finita:
En general, la exponencial iterada infinitamente , definido como el límite de cuando n va al infinito, converge para e - e ≤ x ≤ e 1 / e , aproximadamente el intervalo de 0.066 a 1.44, un resultado mostrado por Leonhard Euler . [12] El límite, si existiera, es una solución real positiva de la ecuación y = x y . Por tanto, x = y 1 / y . El límite que define la tetración infinita de x no converge para x > e 1 / e porque el máximo de y 1 / y es e 1 / e . El límite tampoco converge para 0 < x < e - e .
Esto puede extenderse a números complejos z con la definición:
donde W representa la función W de Lambert .
Como el límite y = ∞ x (si existe en la línea real positiva, es decir, para e - e ≤ x ≤ e 1 / e ) debe satisfacer x y = y vemos que x ↦ y = ∞ x es (la rama inferior de ) la función inversa de y ↦ x = y 1 / y .
Alturas negativas
Podemos usar la regla recursiva para la tetración,
probar :
Sustituyendo −1 por k da
- . [10]
Los valores negativos más pequeños no se pueden definir bien de esta manera. Sustituyendo −2 por k en la misma ecuación se obtiene
que no está bien definido. Sin embargo, a veces pueden considerarse conjuntos. [10]
Para , cualquier definición de es consistente con la regla porque
- para cualquier .
Alturas reales
En este momento no existe una solución comúnmente aceptada para el problema general de extender la tetración a los valores reales o complejos de n . Sin embargo, ha habido múltiples enfoques hacia el tema, y a continuación se describen diferentes enfoques.
En general, el problema es encontrar - para cualquier real de un > 0 - una función de super-exponencial sobre real x > −2 que satisface
- por todo real [13]
Para encontrar una extensión más natural, generalmente se requieren uno o más requisitos adicionales. Esta suele ser una colección de lo siguiente:
- Un requisito de continuidad (generalmente solo eso es continuo en ambas variables para ).
- Un requisito de diferenciabilidad (puede ser una, dos, k veces o infinitamente diferenciable en x ).
- Un requisito de regularidad (que implica dos veces diferenciable en x ) que:
- para todos
El cuarto requisito difiere de un autor a otro y entre los enfoques. Hay dos enfoques principales para extender la tetración a alturas reales; uno se basa en el requisito de regularidad y el otro se basa en el requisito de diferenciabilidad . Estos dos enfoques parecen ser tan diferentes que pueden no conciliarse, ya que producen resultados incompatibles entre sí.
Cuándo se define para un intervalo de longitud uno, toda la función sigue fácilmente para todo x > −2 .
Aproximación lineal para alturas reales
Una aproximación lineal (solución al requisito de continuidad, aproximación al requisito de diferenciabilidad) viene dada por:
por eso:
Aproximación | Dominio |
---|---|
para −1 < x <0 | |
para 0 < x <1 | |
para 1 < x <2 |
y así. Sin embargo, solo es diferenciable por partes; en valores enteros de x, la derivada se multiplica por. Es continuamente diferenciable para si y solo si . Por ejemplo, usando estos métodos y
Un teorema principal en el artículo de Hooshmand [7] establece: Sea. Si es continuo y cumple las condiciones:
- es diferenciable en (−1, 0) ,
- es una función no decreciente o no creciente en (−1, 0) ,
luego se determina de forma única a través de la ecuación
dónde denota la parte fraccionaria de x y es el - función iterada de la función.
La prueba es que las condiciones segunda a cuarta implican trivialmente que f es una función lineal en [−1, 0] .
La aproximación lineal a la función de tetración natural es continuamente diferenciable, pero su segunda derivada no existe en valores enteros de su argumento. Hooshmand derivó otro teorema de unicidad que establece:
Si es una función continua que satisface:
- es convexo en (−1, 0) ,
luego . [Aquí es el nombre de Hooshmand para la aproximación lineal a la función de tetración natural.]
La prueba es muy parecida a la anterior; la ecuación de recursividad asegura que y luego la condición de convexidad implica que es lineal en (−1, 0) .
Por lo tanto, la aproximación lineal a la tetración natural es la única solución de la ecuación y que es convexo en (−1, + ∞) . Todas las demás soluciones suficientemente diferenciables deben tener un punto de inflexión en el intervalo (-1, 0) .
Aproximaciones de orden superior para alturas reales
Más allá de las aproximaciones lineales, una aproximación cuadrática (al requisito de diferenciabilidad) viene dada por:
que es diferenciable para todos , pero no dos veces diferenciables. Por ejemplo, Si esto es lo mismo que la aproximación lineal. [2]
Debido a la forma en que se calcula, esta función no se "cancela", al contrario de los exponentes, donde . A saber,
- .
Así como existe una aproximación cuadrática, también existen aproximaciones cúbicas y métodos para generalizar a aproximaciones de grado n , aunque son mucho más difíciles de manejar. [2] [14]
Alturas complejas
Ahora se ha demostrado [15] que existe una función única F que es una solución de la ecuación F ( z + 1) = exp ( F ( z )) y satisface las condiciones adicionales de que F (0) = 1 y F ( z ) se acerca a los puntos fijos del logaritmo (aproximadamente 0.318 ± 1.337 i ) cuando z se acerca a ± i ∞ y que F es holomórfica en todo el plano complejo z , excepto la parte del eje real en z ≤ −2 . Esta prueba confirma una conjetura previa . [16] La construcción de tal función fue demostrada originalmente por Kneser en 1950. [17] El mapa complejo de esta función se muestra en la figura de la derecha. La prueba también funciona para otras bases además de e , siempre que la base sea más grande que. Los trabajos posteriores extendieron la construcción a todas las bases complejas. La compleja aproximación de doble precisión de esta función está disponible en línea. [18]
El requisito de que la tetración sea holomórfica es importante por su singularidad. Muchas funciones S se pueden construir como
donde α y β son secuencias reales que decaen lo suficientemente rápido como para proporcionar la convergencia de la serie , al menos en valores moderados de Im z .
La función S satisface las ecuaciones de tetración S ( z + 1) = exp ( S ( z )) , S (0) = 1 , y si α n y β n se acercan a 0 lo suficientemente rápido, será analítica en una vecindad de la positiva eje real. Sin embargo, si algunos elementos de { α } o { β } no son cero, entonces la función S tiene multitud de singularidades y líneas de corte adicionales en el plano complejo, debido al crecimiento exponencial de sen y cos a lo largo del eje imaginario; cuanto más pequeños son los coeficientes { α } y { β } , más alejadas están estas singularidades del eje real.
La extensión de la tetración en el plano complejo es, por tanto, esencial para la unicidad; la tetración real-analítica no es única.
Recurrencia no elemental
Tetración (restringida a ) no es una función recursiva elemental . Se puede probar por inducción que para cada función recursiva elemental f , hay una constante c tal que
Denotamos el lado derecho por . Supongamos, por el contrario, que la tetración es elemental recursiva.también es elemental recursivo. Por la desigualdad anterior, hay una constante c tal que. Dejando, tenemos eso , una contradicción.
Operaciones inversas
La exponenciación tiene dos operaciones inversas; raíces y logaritmos . Análogamente, las inversas de tetración a menudo se llaman el super-raíz , y la super-logaritmo (De hecho, todos los hyperoperations mayor que o igual a 3 tienen inversas análogos); por ejemplo, en la función, las dos inversas son la superraíz cúbica de y y el superlogaritmo base y de x .
Superraíz
La superraíz es la operación inversa de la tetración con respecto a la base: si , A continuación, y es un n º súper raíz de x ( o ).
Por ejemplo,
por lo que 2 es la cuarta superraíz de 65.536.
Superraíz cuadrada
La segunda orden super-raíz , cuadrada super-raíz , o la raíz cuadrada súper tiene dos notaciones equivalentes, y . Es el inverso dey se puede representar con la función W de Lambert : [19]
La función también ilustra la naturaleza reflectante de las funciones raíz y logaritmo, ya que la siguiente ecuación solo es válida cuando :
Al igual que las raíces cuadradas , es posible que la superraíz cuadrada de x no tenga una sola solución. A diferencia de las raíces cuadradas, puede resultar difícil determinar el número de superraíces cuadradas de x . En general, si, entonces x tiene dos superraíces cuadradas positivas entre 0 y 1; y si, entonces x tiene una superraíz cuadrada positiva mayor que 1. Si x es positivo y menor queno tiene superraíces cuadradas reales , pero la fórmula dada arriba produce un número infinito de complejos para cualquier x finito que no sea igual a 1. [19] La función se ha utilizado para determinar el tamaño de los conglomerados de datos . [20]
A :
Otras superraíces
Para cada número entero n > 2 , la función n x se define y se incrementa para x ≥ 1 , y n 1 = 1 , de modo que la n- ésima superraíz de x ,, existe para x ≥ 1 .
Una de las fórmulas más simples y rápidas para una superraíz de tercer grado es la fórmula recursiva, si: "x ^ x ^ x = a", y luego x (n + 1) = exp (W (W (x (n ) * ln (a)))), por ejemplo x (0) = 1.
Sin embargo, si se utiliza la aproximación lineal anterior , entoncessi −1 < y ≤ 0 , entonces no puede existir.
De la misma forma que la superraíz cuadrada, la terminología para otras superraíces se puede basar en las raíces normales : las "superraíces cúbicas" se pueden expresar como; la "cuarta superraíz" se puede expresar como; y la " n- ésima superraíz" es. Tenga en cuenta queno se puede definir de forma única, ya que puede haber más de un n º raíz. Por ejemplo, x tiene una única superraíz (real) si n es impar y hasta dos si n es par . [ cita requerida ]
Al igual que con la extensión de la tetración a alturas infinitas, la superraíz se puede extender an = ∞ , quedando bien definida si 1 / e ≤ x ≤ e . Tenga en cuenta que y así que . Por lo tanto, cuando está bien definido,y, a diferencia de la tetración normal, es una función elemental . Por ejemplo,.
Se deduce del teorema de Gelfond-Schneider que la superraízpara cualquier entero positivo n es entero o trascendental , yes entero o irracional. [21] Sigue siendo una cuestión abierta si las superraíces irracionales son trascendentales en el último caso.
Superlogaritmo
Una vez que se selecciona una definición continua creciente (en x ) de tetración, x a , el superlogaritmo correspondiente o se define para todos los números reales x , y a > 1 .
La función slog a x satisface:
Preguntas abiertas
Aparte de los problemas con las extensiones de la tetración, hay varias preguntas abiertas sobre la tetración, particularmente cuando se trata de las relaciones entre sistemas numéricos como los números enteros y los números irracionales :
- No se sabe si hay un número entero positivo n para el cual n π o n e es un número entero. En particular, no se sabe si 4 π o 5 e es un número entero. [ cita requerida ]
- No se sabe si n q es un número entero para cualquier número entero positivo n y un número racional positivo no entero q . [21] Por ejemplo, no se sabe si la raíz positiva de la ecuación 4 x = 2 es un número racional. [ cita requerida ]
Ver también
- Función de Ackermann
- Notación Big O
- Función doble exponencial
- Hiperoperación
- Logaritmo iterado
- Aritmética simétrica de índice de nivel
Notas
- ↑ La notación n x de Rudolf von Bitter Rucker (1982), tal como la introdujeron Hans Maurer (1901) y Reuben Louis Goodstein (1947) para la tetración, no debe confundirse con lanotación de Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907) n f ( x ) para denotar composiciones de funciones iteradas, ni con lanotación n x pre-superíndice de David Patterson Ellerman (1995)para raíces .
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- Ioannis Galidakis, Sobre la extensión de hiper4 a no enteros (sin fecha, 2006 o anterior) (Una revisión más simple y fácil de leer de la siguiente referencia)
- Ioannis Galidakis, Sobre la extensión de hyper4 y la notación de flecha hacia arriba de Knuth a los reales (sin fecha, 2006 o anterior).
- Robert Munafo, Extensión de la función hyper4 a los reales (Una discusión informal sobre la extensión de la tetración a los números reales).
- Lode Vandevenne, Tetración de la raíz cuadrada de dos . (2004). (Intente extender la tetración a números reales).
- Ioannis Galidakis, Matemáticas , (Lista definitiva de referencias a la investigación de la tetración. Mucha información sobre la función W de Lambert, superficies de Riemann y continuación analítica).
- Joseph MacDonell, Algunos puntos críticos de la función de hiperpotencia .
- Dave L. Renfro, páginas web para exponenciales iterados infinitamente
- Knobel, R. (1981). "Exponenciales reiteradas". American Mathematical Monthly . 88 (4): 235–252. doi : 10.1080 / 00029890.1981.11995239 .
- Hans Maurer, "Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen). " Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4 , (1901), p. 33-50. (Referencia al uso de del artículo de Knobel.)
- La Cuarta Operación
- Luca Moroni, Las extrañas propiedades de la torre de energía infinita ( https://arxiv.org/abs/1908.05559 )
Otras lecturas
- Galidakis, Ioannis; Weisstein, Eric Wolfgang . "Torre de energía" . MathWorld . Consultado el 5 de julio de 2019 .