Hiperplano
En geometría , un hiperplano es un subespacio cuya dimensión es uno menos que la de su espacio ambiental . Por ejemplo, si un espacio es tridimensional, sus hiperplanos son los planos bidimensionales , mientras que si el espacio es bidimensional, sus hiperplanos son las líneas unidimensionales . Esta noción puede utilizarse en cualquier espacio general en el que se defina el concepto de dimensión de un subespacio .
En diferentes escenarios, los hiperplanos pueden tener diferentes propiedades. Por ejemplo, un hiperplano de un espacio afín n -dimensional es un subconjunto plano con dimensión n − 1 [1] y separa el espacio en dos semiespacios . Mientras que un hiperplano de un espacio proyectivo n -dimensional no tiene esta propiedad.
La diferencia de dimensión entre un subespacio S y su espacio ambiental X se conoce como la codimensión de S con respecto a X. Por lo tanto, una condición necesaria para que S sea un hiperplano en X es que S tenga codimensión uno en X.
En geometría , un hiperplano de un espacio n -dimensional V es un subespacio de dimensión n − 1, o equivalentemente, de codimensión 1 en V. El espacio V puede ser un espacio euclidiano o, más generalmente, un espacio afín , o un espacio vectorial o un espacio proyectivo , y la noción de hiperplano varía en consecuencia ya que la definición de subespacio difiere en estos entornos; sin embargo, en todos los casos, cualquier hiperplano se puede dar en coordenadas como la solución de un solo (debido a la restricción de "codimensión 1")ecuación algebraica de grado 1.
Si V es un espacio vectorial, se distinguen "hiperplanos vectoriales" (que son subespacios lineales y, por lo tanto, deben pasar por el origen) e "hiperplanos afines" (que no necesitan pasar por el origen; se pueden obtener por traslación de un vector hiperplano). Un hiperplano en un espacio euclidiano separa ese espacio en dos semiespacios y define una reflexión que fija el hiperplano e intercambia esos dos semiespacios.
Se definen varios tipos específicos de hiperplanos con propiedades que se adaptan bien a propósitos particulares. Algunas de estas especializaciones se describen aquí.
