Álgebra de operadores reflexivos
En el análisis funcional , un álgebra de operadores reflexiva A es un álgebra de operadores que tiene suficientes subespacios invariantes para caracterizarla. Formalmente, A es reflexivo si es igual al álgebra de operadores acotados que dejan invariante cada subespacio dejado invariante por cada operador en A.
Las álgebras de nido son ejemplos de álgebras de operadores reflexivos. En dimensiones finitas, estas son simplemente álgebras de todas las matrices de un tamaño dado cuyas entradas distintas de cero se encuentran en un patrón triangular superior.
De hecho, si fijamos cualquier patrón de entradas en una matriz n por n que contenga la diagonal, entonces el conjunto de todas las matrices n por n cuyas entradas distintas de cero se encuentran en este patrón forma un álgebra reflexiva.
Si T es una matriz fija de n por n , entonces el conjunto de todos los polinomios en T y el operador de identidad forman un álgebra de operadores unitario. Un teorema de Deddens y Fillmore establece que esta álgebra es reflexiva si y solo si los dos bloques más grandes en la forma normal de Jordan de T difieren en tamaño como máximo en uno. Por ejemplo, el álgebra
Sea un álgebra de operadores débil* cerrado contenido en B ( H ), el conjunto de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert H y para T cualquier operador en B ( H ), sea
Obsérvese que P es una proyección involucrada en este supremo precisamente si el rango de P es un subespacio invariante de .