En geometría hiperbólica, un triángulo ideal es un triángulo hiperbólico cuyos tres vértices son todos puntos ideales . Los triángulos ideales también se denominan a veces triángulos triplemente asintóticos o triángulos triplemente asintóticos . Los vértices a veces se denominan vértices ideales . Todos los triángulos ideales son congruentes .
Propiedades
Los triángulos ideales tienen las siguientes propiedades:
- Todos los triángulos ideales son congruentes entre sí.
- Los ángulos interiores de un triángulo ideal son todos cero.
- Un triángulo ideal tiene un perímetro infinito.
- Un triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica.
En el plano hiperbólico estándar (una superficie donde la curvatura gaussiana constante es -1) también tenemos las siguientes propiedades:
- Cualquier triángulo ideal tiene un área π. [1]
Distancias en un triángulo ideal
- El círculo inscrito en un triángulo ideal tiene un radio
. [2]
- La distancia desde cualquier punto del triángulo al lado más cercano del triángulo es menor o igual al radio r anterior, con igualdad solo para el centro del círculo inscrito.
- El círculo inscrito se encuentra con el triángulo en tres puntos de tangencia, formando un triángulo de contacto equilátero con longitud de lado[2] dondees la proporción áurea .
- Un círculo con radio d alrededor de un punto dentro del triángulo se encontrará o intersecará al menos dos lados del triángulo.
- La distancia desde cualquier punto de un lado del triángulo a otro lado del triángulo es igual o menor que , con igualdad solo para los puntos de tangencia descritos anteriormente.
- a es también la altitud del triángulo de Schweikart .
Si la curvatura es - K en todas partes en lugar de -1, las áreas debe ser multiplicada por 1 / por encima de K y las longitudes y distancias debe multiplicarse por 1 / √ K . [ cita requerida ]
Condición de triángulo delgado
Debido a que el triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica, las medidas anteriores son máximas posibles para cualquier triángulo hiperbólico , este hecho es importante en el estudio del espacio δ-hiperbólico .
Modelos
En el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, un triángulo ideal está delimitado por tres círculos que intersecan el círculo límite en ángulos rectos.
En el modelo de semiplano de Poincaré , un triángulo ideal es modelado por un arbelos , la figura entre tres semicírculos mutuamente tangentes .
En el modelo de Beltrami-Klein del plano hiperbólico, un triángulo ideal es modelado por un triángulo euclidiano que está circunscrito por el círculo límite. Tenga en cuenta que en el modelo de Beltrami-Klein, los ángulos en los vértices de un triángulo ideal no son cero, porque el modelo de Beltrami-Klein, a diferencia de los modelos de disco y semiplano de Poincaré, no es conforme , es decir, no conserva los ángulos.
Grupo de triángulo ideal real
El grupo de triángulos ideal (∞ ∞ ∞) | Otro mosaico ideal |
El grupo de triángulo ideal real es el grupo de reflexión generado por las reflexiones del plano hiperbólico a través de los lados de un triángulo ideal. Algebraicamente, es isomorfo al producto libre de tres grupos de orden dos (Schwarz 2001).
Referencias
- ^ Thurston, Dylan (otoño de 2012). "274 curvas en superficies, lección 5" (PDF) . Consultado el 23 de julio de 2013 .
- ^ a b "¿Cuál es el radio del círculo inscrito de un triángulo ideal?" . Consultado el 9 de diciembre de 2015 .
Bibliografía
- Schwartz, Richard Evan (2001). "Grupos de triángulos ideales, toros abollados y análisis numérico". Annals of Mathematics . Ser. 2. 153 (3): 533–598. arXiv : math.DG / 0105264 . doi : 10.2307 / 2661362 . JSTOR 2661362 . Señor 1836282 .