En la geometría hiperbólica , un lugar ideal , omega punto [1] o punto en el infinito es un bien definido punto fuera del plano hiperbólico o espacio. Dada una línea ly un punto P que no está en l , los paralelos que limitan a la derecha y a la izquierda de l a P convergen en l en los puntos ideales .
A diferencia del caso proyectivo, los puntos ideales forman un límite , no una subvariedad. Entonces, estas líneas no se cruzan en un punto ideal y tales puntos, aunque están bien definidos, no pertenecen al espacio hiperbólico en sí.
Los puntos ideales juntos forman el límite o absoluto de Cayley de una geometría hiperbólica . Por ejemplo, el círculo unitario forma el absoluto de Cayley del modelo de disco de Poincaré y el modelo de disco de Klein . Mientras que la línea real forma el absoluto Cayley del modelo de semiplano de Poincaré . [2]
El axioma de Pasch y el teorema del ángulo exterior siguen siendo válidos para un triángulo omega, definido por dos puntos en el espacio hiperbólico y un punto omega. [3]
Propiedades
- La distancia hiperbólica entre un punto ideal y cualquier otro punto o punto ideal es infinita.
- Los centros de horociclos y horóscopos son puntos ideales; dos horociclos son concéntricos cuando tienen el mismo centro.
Polígonos con vértices ideales
Triángulos ideales
si todos los vértices de un triángulo son puntos ideales, el triángulo es un triángulo ideal .
Los triángulos ideales tienen varias propiedades interesantes:
- Todos los triángulos ideales son congruentes.
- Los ángulos interiores de un triángulo ideal son todos cero.
- Cualquier triángulo ideal tiene un perímetro infinito.
- Cualquier triángulo ideal tiene un área donde K es la curvatura (negativa) del plano. [4]
Cuadriláteros ideales
si todos los vértices de un cuadrilátero son puntos ideales, el cuadrilátero es un cuadrilátero ideal.
Si bien todos los triángulos ideales son congruentes, no todos los cuadriláteros lo son, las diagonales pueden formar ángulos diferentes entre sí, lo que da como resultado cuadriláteros no congruentes que dicen esto:
- Los ángulos interiores de un cuadrilátero ideal son todos cero.
- Cualquier cuadrilátero ideal tiene un perímetro infinito.
- Cualquier cuadrilátero ideal (convexo sin intersección) tiene un área donde K es la curvatura (negativa) del plano.
Plaza ideal
El cuadrilátero ideal donde las dos diagonales son perpendiculares entre sí forma un cuadrado ideal.
Ferdinand Karl Schweikart lo utilizó en su memorándum sobre lo que llamó "geometría astral", una de las primeras publicaciones que reconoció la posibilidad de la geometría hiperbólica . [5]
Ideal n -gons
Un n -gon ideal se puede subdividir en ( n - 2) triángulos ideales, con área ( n - 2) multiplicada por el área de un triángulo ideal.
Representaciones en modelos de geometría hiperbólica
En el modelo de disco de Klein y el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico. En ambos modelos de disco, los puntos ideales están en el círculo unitario (plano hiperbólico) o la esfera unitaria (dimensiones superiores), que es el límite inalcanzable del plano hiperbólico.
Al proyectar la misma línea hiperbólica al modelo de disco de Klein y al modelo de disco de Poincaré, ambas líneas pasan por los mismos dos puntos ideales (los puntos ideales en ambos modelos están en el mismo lugar).
Modelo de disco de Klein
Dados dos puntos distintos p y q en el disco unidad abierta la línea recta única conectándolos interseca el círculo unidad en dos puntos ideales , un y b , con la etiqueta de modo que los puntos son, en orden, una , p , q , b de modo que | aq | > | ap | y | pb | > | qb |. Entonces la distancia hiperbólica entre p y q se expresa como
Modelo de disco de Poincaré
Dados dos puntos distintos p y q en el disco unidad abierta entonces el círculo único arco ortogonal a la frontera de conectarlos interseca el círculo unidad en dos puntos ideales , un y b , la etiqueta de modo que los puntos son, en orden, una , p , q , b de modo que | aq | > | ap | y | pb | > | qb |. Entonces la distancia hiperbólica entre p y q se expresa como
Donde las distancias se miden a lo largo de los segmentos (en línea recta) aq, ap, pb y qb.
Modelo de semiplano de Poincaré
En el modelo de semiplano de Poincaré, los puntos ideales son los puntos en el eje de la frontera. También hay otro punto ideal que no está representado en el modelo de semiplano (pero los rayos paralelos al eje y positivo se acercan a él).
Modelo hiperboloide
En el modelo hiperboloide no hay puntos ideales .
Ver también
- Triángulo ideal
- Poliedro ideal
- Puntos en el infinito para usos en otras geometrías.
Referencias
- ^ Sibley, Thomas Q. (1998). El punto de vista geométrico: un estudio de geometrías . Reading, Mass .: Addison-Wesley. pag. 109 . ISBN 0-201-87450-4.
- ^ Struve, Horst; Struve, Rolf (2010), " Geometrías no euclidianas: el enfoque de Cayley-Klein", Journal of Geometry , 89 (1): 151-170, doi : 10.1007 / s00022-010-0053-z , ISSN 0047-2468 , Señor 2739193
- ^ Hvidsten, Michael (2005). Geometría con Geometry Explorer . Nueva York, NY: McGraw-Hill. págs. 276-283. ISBN 0-07-312990-9.
- ^ Thurston, Dylan (otoño de 2012). "274 curvas en superficies, lección 5" (PDF) . Consultado el 23 de julio de 2013 .
- ^ Bonola, Roberto (1955). Geometría no euclidiana: un estudio crítico e histórico de sus desarrollos (República íntegra e inalterada de la 1. traducción inglesa 1912. ed.). Nueva York, NY: Dover. págs. 75–77 . ISBN 0486600270.