Espacio cociente (topología)

En topología y áreas afines de las matemáticas , el espacio cociente de un espacio topológico bajo una relación de equivalencia dada es un nuevo espacio topológico construido al dotar al conjunto cociente del espacio topológico original con la topología cociente , es decir, con la topología más fina que hace continua el mapa de proyección canónica (la función que mapea puntos a sus clases de equivalencia ). En otras palabras, un subconjunto de un espacio de cociente está abierto si y solo si su preimagenbajo el mapa de proyección canónica está abierto en el espacio topológico original.

Intuitivamente hablando, los puntos de cada clase de equivalencia se identifican o "pegan" para formar un nuevo espacio topológico. Por ejemplo, identificar los puntos de una esfera que pertenecen al mismo diámetro produce el plano proyectivo como espacio cociente.

Sea un espacio topológico , y sea una relación de equivalencia en El conjunto cociente , es el conjunto de clases de equivalencia de elementos de La clase de equivalencia de se denota El cociente , canónico , mapa de proyección asociado con se refiere al siguiente mapa sobreyectivo :${\ estilo de visualización \ izquierda (X, \ tau _ {X} \ derecha)}$${\ estilo de visualización \, \ sim \,}$${\ estilo de visualización X.}$${\displaystyle Y=X/\sim\,}$${\ estilo de visualización X.}$${\ estilo de visualización x \ en X}$${\ estilo de visualización [x].}$${\ estilo de visualización \, \ sim \,}$

El espacio cociente bajo es el conjunto cociente equipado con la topología cociente , que es la topología cuyos conjuntos abiertos son los subconjuntos tales que es un subconjunto abierto de es decir, está abierto en la topología cociente si y solo si Por lo tanto, ${\ estilo de visualización \, \ sim \,}$${\ estilo de visualización Y}$ ${\displaystyle U\subseteq Y=X/{\sim }}$${\displaystyle \{x\in X:[x]\in U\}=\cup _{u\in U}u}$${\ estilo de visualización \ izquierda (X, \ tau _ {X} \ derecha);}$${\displaystyle U\subseteq X/{\sim}}$${\ estilo de pantalla X/{\ sim}}$${\displaystyle \{x\in X:[x]\in U\}\in \tau _{X}.}$

La topología del cociente es la topología final en el conjunto del cociente, con respecto al mapa${\displaystyle x\mapsto [x].}$

Ilustración de la construcción de una esfera topológica como el espacio cociente de un disco , pegando en un solo punto los puntos (en azul) del límite del disco.

Por ejemplo, es homeomorfo al círculo${\displaystyle [0,1]/\{0,1\}}$${\displaystyle S^{1}.}$