Clase de equivalencia

La congruencia es un ejemplo de relación de equivalencia. Los dos triángulos más a la izquierda son congruentes, mientras que el tercer y cuarto triángulos no son congruentes con ningún otro triángulo que se muestra aquí. Por lo tanto, los dos primeros triángulos están en la misma clase de equivalencia, mientras que el tercer y cuarto triángulos están cada uno en su propia clase de equivalencia.

En matemáticas , cuando los elementos de algún conjunto $S$ tienen una noción de equivalencia (formalizada como una relación de equivalencia ) definida en ellos, entonces uno puede naturalmente dividir el conjunto $S$ en clases de equivalencia . Estas clases de equivalencia se construyen de manera que los elementos $a$ y $b$ pertenecen a la misma clase de equivalencia si, y sólo si , son equivalentes.

Formalmente, dado un conjunto $S$ y una relación de equivalencia $~$ en $S$ , la clase de equivalencia de un elemento $a$ en $S$ , denotado por , ^[1]^[2] es el conjunto ^[3] $[a]$

\{x\in S\mid x\sim a\}

de elementos que son equivalentes a $a$ . Puede ser probado, de las propiedades que definen las relaciones de equivalencia, que las clases de equivalencia forman una partición de $S$ . Esta partición, el conjunto de clases de equivalencia, a veces se denomina conjunto de cocientes o espacio de cocientes de $S$ por $~$ , y se denota por $S / ~$ .

Cuando el conjunto $S$ tiene alguna estructura (como una operación de grupo o una topología ) y la relación de equivalencia $~$ es compatible con esta estructura, el conjunto de cocientes a menudo hereda una estructura similar de su conjunto padre. Los ejemplos incluyen espacios cocientes en álgebra lineal , espacios cocientes en la topología , grupos cocientes , espacios homogéneos , anillo cociente , monoides cociente , y categorías de cociente .

Ejemplos [ editar ]

Si $X$ es el conjunto de todos los coches, y $~$ es la relación de equivalencia "tiene el mismo color que", entonces una clase de equivalencia particular consistiría en todos los coches verdes, y $X / ~$ podría identificarse naturalmente con el conjunto de todos los colores de los coches. .
Deje $X$ el conjunto de todos los rectángulos en un avión, y $~$ la relación de equivalencia "tiene la misma zona que", a continuación, para cada número real positivo A , habrá una clase de equivalencia de todos los rectángulos que tienen zona A . ^[4]
Considere la relación de equivalencia módulo 2 en el conjunto de números enteros , $ℤ$ , tal que $x ~ y$ si y solo si su diferencia $x - y$ es un número par . Esta relación da lugar a exactamente dos clases de equivalencia: una clase consta de todos los números pares y la otra clase consta de todos los números impares. Usando corchetes alrededor de un miembro de la clase para denotar una clase de equivalencia bajo esta relación, $[7]$ , $[9]$ y $[1]$ todos representan el mismo elemento de $ℤ / ~$ . ^[5]
Deje que $X$ sea el conjunto de pares ordenados de enteros $(a, b)$ con no nulo $b$ , y definir una relación de equivalencia $~$ en $X$ tal que $(a, b) ~ (c, d)$ si y sólo si $ad = bc$ , entonces la clase de equivalencia del par $(a, b)$ se puede identificar con el número racional $a / b$ , y esta relación de equivalencia y sus clases de equivalencia se pueden utilizar para dar una definición formal del conjunto de números racionales. ^[6] La misma construcción se puede generalizar al campo de fracciones de cualquier dominio integral .
Si $X$ consta de todas las líneas en, digamos, el plano euclidiano , y L ~ M significa que L y M son líneas paralelas , entonces el conjunto de líneas que son paralelas entre sí forman una clase de equivalencia, siempre que una línea sea considerado paralelo a sí mismo . En esta situación, cada clase de equivalencia determina un punto en el infinito .

Notación y definición formal [ editar ]

Una relación de equivalencia en un conjunto $X$ es una relación binaria $~$ en $X que$ satisface las tres propiedades: ^[7]^[8]

$a ~ a$ para todo $a$ en $X$ ( reflexividad ),
$a ~ b$ implica $b ~ a$ para todo $a$ y $b$ en $X$ ( simetría ),
si $a ~ b$ y $b ~ c$ entonces $a ~ c$ para todo $a$ , $b$ y $c$ en $X$ ( transitividad ).

La clase de equivalencia de un elemento $a$ se denota $[a]$ o $[a] ~$ , ^[1] y se define como el conjunto de elementos que están relacionados con $a$ por $~$ . ^[3] La palabra "clase" en el término "clase de equivalencia" no se refiere a clases como se definen en la teoría de conjuntos , sin embargo, las clases de equivalencia a menudo resultan ser clases adecuadas . $\{x\in X\mid a\sim x\}$

El conjunto de todas las clases de equivalencia en $X$ con respecto a una relación de equivalencia $R$ se denota como $X / R$ , y se denomina $X$ módulo $R$ (o el conjunto de cocientes de $X$ por $R$ ). ^[9] El mapa sobreyectivo de $X$ a $X$ $/$ $R$ , que asigna cada elemento a su clase de equivalencia, se llama sobreyección canónica , o mapa de proyección canónica . $x\mapsto [x]$

Cuando se elige un elemento (a menudo implícitamente) en cada clase de equivalencia, esto define un mapa inyectivo llamado sección . Si esta sección se denota con $s$ , se tiene $[s (c)] = c$ para cada clase de equivalencia $c$ . El elemento $s (c)$ se denomina representante de $c$ . Cualquier elemento de una clase puede elegirse como representante de la clase, eligiendo la sección de manera apropiada.

A veces, hay una sección que es más "natural" que las otras. En este caso, los representantes se denominan representantes canónicos . Por ejemplo, en aritmética modular , considere la relación de equivalencia en los enteros definidos de la siguiente manera: $a ~ b$ si $a - b$ es un múltiplo de un entero positivo dado $n$ (llamado módulo ). Cada clase contiene un número entero no negativo único menor que $n$ , y estos números enteros son los representantes canónicos. La clase y su representante están más o menos identificados, como lo atestigua el hecho de que la notación $un$ $mod$ $n$ puede denotar la clase o su representante canónico (que es el resto de la división de $a$ por $n$ ).

Propiedades [ editar ]

Todo elemento $x$ de $X$ es miembro de la clase de equivalencia $[x]$ . Cada dos clases de equivalencia $[x]$ e $[y]$ son iguales o disjuntas . Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de $X$ forma una partición de $X$ : cada elemento de $X$ pertenece a una y sólo una clase de equivalencia. ^[10] A la inversa, cada partición de $X$ proviene de una relación de equivalencia de esta manera, según la cual $x ~ y$ si y solo si $x$ y $y$ pertenecen a la misma serie de la partición. ^[11]

De las propiedades de una relación de equivalencia se sigue que

x ~ y

si y solo si

[x] = [y]

.

En otras palabras, si $~$ es una relación de equivalencia en un conjunto $X$ , y $x$ y $y$ son dos elementos de $X$ , a continuación, estos estados son equivalentes:

$x\sim y$
$[x]=[y]$
$[x]\cap [y]\neq \emptyset .$

Representación gráfica [ editar ]

Gráfico de un ejemplo de equivalencia con 7 clases

Un grafo no dirigido puede estar asociada a cualquier relación simétrica en un conjunto $X$ , donde los vértices son los elementos de $X$ , y dos vértices $s$ y $t$ se unen si y sólo si $s ~ t$ . Entre estos gráficos se encuentran los gráficos de relaciones de equivalencia; se caracterizan como los gráficos de manera que los componentes conectados son camarillas . ^[5]

Invariantes [ editar ]

Si $~$ es una relación de equivalencia en $X$ , y $P (x)$ es una propiedad de los elementos de $X$ tal que siempre que $x ~ y$ , $P (x)$ es verdadera si $P (y)$ es verdadera, entonces se dice que la propiedad $P$ es un invariante de $~$ , o bien definido bajo la relación $~$ .

Un caso particular frecuente ocurre cuando $f$ es una función de $X$ a otro conjunto $Y$ ; si $f (x 1) = f (x 2)$ siempre que $x 1 ~ x 2$ , entonces se dice que $f$ es invariante de clase bajo $~$ , o simplemente invariante bajo $~$ . Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría del carácter de grupos finitos. Algunos autores usan "compatible con $~$ " o simplemente "respeta $~$ " en lugar de "invariante bajo $~$ ".

Cualquier función $f : X \to Y$ define una relación de equivalencia en $X$ según la cual $x 1 ~ x 2$ si y solo si $f (x 1) = f (x 2)$ . La clase de equivalencia de $x$ es el conjunto de todos los elementos en $X$ que se mapean $af (x)$ , es decir, la clase $[x]$ es la imagen inversa de $f (x)$ . Esta relación de equivalencia se conoce como el núcleo de $f$ .

De manera más general, una función puede mapear argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia $~ X$ sobre $X$ ) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia $~ Y$ sobre $Y$ ). Tal función es un morfismo de conjuntos equipados con una relación de equivalencia.

Espacio de cociente en topología [ editar ]

En topología , un espacio de cociente es un espacio topológico formado en el conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia en un espacio topológico, utilizando la topología del espacio original para crear la topología en el conjunto de clases de equivalencia.

En álgebra abstracta , las relaciones de congruencia en el conjunto subyacente de un álgebra permiten que el álgebra induzca un álgebra en las clases de equivalencia de la relación, llamado álgebra de cociente . En álgebra lineal , un espacio de cociente es un espacio vectorial formado al tomar un grupo de cocientes , donde el homomorfismo del cociente es un mapa lineal . Por extensión, en álgebra abstracta, el término espacio cociente puede ser usado para módulos de cociente , anillo cociente , grupos cocientes, o cualquier álgebra cociente. Sin embargo, el uso del término para los casos más generales puede ser a menudo por analogía con las órbitas de una acción de grupo.

Las órbitas de una acción grupal sobre un conjunto pueden denominarse espacio cociente de la acción sobre el conjunto, particularmente cuando las órbitas de la acción grupal son las clases laterales derechas de un subgrupo de un grupo, que surgen de la acción del subgrupo sobre el grupo por traslaciones a la izquierda, o respectivamente las clases laterales izquierdas como órbitas bajo traslación a la derecha.

Un subgrupo normal de un grupo topológico, que actúa sobre el grupo por acción de traducción, es un espacio cociente en los sentidos de topología, álgebra abstracta y acciones de grupo simultáneamente.

Aunque el término puede usarse para cualquier conjunto de clases de equivalencia de relación de equivalencia, posiblemente con una estructura adicional, la intención de usar el término es generalmente comparar ese tipo de relación de equivalencia en un conjunto $X$ , ya sea con una relación de equivalencia que induce alguna estructura en el conjunto de clases de equivalencia desde una estructura del mismo tipo en $X$ , o hasta las órbitas de una acción grupal. Tanto el sentido de una estructura preservada por una relación de equivalencia, como el estudio de invariantes bajo acciones de grupo, conducen a la definición de invariantes de relaciones de equivalencia dada anteriormente.

Ver también [ editar ]

Partición de equivalencia , un método para diseñar conjuntos de prueba en pruebas de software basado en dividir las posibles entradas del programa en clases de equivalencia de acuerdo con el comportamiento del programa en esas entradas.
Espacio homogéneo , el espacio cociente de los grupos de Lie
Relación de equivalencia parcial
Cociente por una relación de equivalencia
Transversal (combinatoria)

Notas [ editar ]

^ a b "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
^ "7.3: Clases de equivalencia" . LibreTexts de Matemáticas . 2017-09-20 . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
^ a b Weisstein, Eric W. "Clase de equivalencia" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
^ Avelsgaard , 1989 , p. 127
↑ a b Devlin , 2004 , p. 123
^ Maddox 2002 , págs. 77-78
^ Devlin 2004 , p. 122
^ Weisstein, Eric W. "Relación de equivalencia" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
^ Wolf 1998 , p. 178
^ Maddox 2002 , p. 74, Thm. 2.5.15
^ Avelsgaard , 1989 , p. 132, Thm. 3,16

Referencias [ editar ]

Avelsgaard, Carol (1989), Fundamentos para matemáticas avanzadas , Scott Foresman, ISBN 0-673-38152-8
Devlin, Keith (2004), Conjuntos, funciones y lógica: Introducción a las matemáticas abstractas (3.a ed.), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1-58488-449-1
Maddox, Randall B. (2002), Pensamiento y escritura matemáticos , Harcourt / Academic Press, ISBN 0-12-464976-9
Wolf, Robert S. (1998), Prueba, lógica y conjetura: Caja de herramientas de un matemático , Freeman, ISBN 978-0-7167-3050-7

Lectura adicional [ editar ]

Sundstrom (2003), Razonamiento matemático: escritura y prueba , Prentice-Hall
Herrero; Eggen; San Andrés (2006), Una transición a las matemáticas avanzadas (6a ed.), Thomson (Brooks / Cole)
Schumacher, Carol (1996), Capítulo cero: Nociones fundamentales de las matemáticas abstractas , Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
O'Leary (2003), La estructura de la prueba: con lógica y teoría de conjuntos , Prentice-Hall
Lay (2001), Análisis con una introducción a la demostración , Prentice Hall
Morash, Ronald P. (1987), Puente a las matemáticas abstractas , Random House, ISBN 0-394-35429-X
Gilbert; Vanstone (2005), Introducción al pensamiento matemático , Pearson Prentice-Hall
Fletcher; Patty, Fundamentos de las matemáticas superiores , PWS-Kent
Iglewicz; Stoyle, Introducción al razonamiento matemático , MacMillan
D'Angelo; West (2000), Pensamiento matemático: resolución de problemas y pruebas , Prentice Hall
Cupillari , Las tuercas y tornillos de las pruebas , Wadsworth
Bond, Introducción a las matemáticas abstractas , Brooks / Cole
Barnier; Feldman (2000), Introducción a las matemáticas avanzadas , Prentice Hall
Ash, A Primer of Abstract Mathematics , MAA

Enlaces externos [ editar ]

Medios relacionados con las clases de equivalencia en Wikimedia Commons

[:0-1] "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 30 de agosto de 2020 .

[2] "7.3: Clases de equivalencia" . LibreTexts de Matemáticas . 2017-09-20 . Consultado el 30 de agosto de 2020 .

[:1-3] Weisstein, Eric W. "Clase de equivalencia" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .

[4] Avelsgaard , 1989 , p. 127

[Devlin_2004_loc=p._123-5] Devlin , 2004 , p. 123

[6] Maddox 2002 , págs. 77-78

[7] Devlin 2004 , p. 122

[8] Weisstein, Eric W. "Relación de equivalencia" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .

[9] Wolf 1998 , p. 178

[10] Maddox 2002 , p. 74, Thm. 2.5.15

[11] Avelsgaard , 1989 , p. 132, Thm. 3,16

[1]