Por tanto, una función analítica está completamente determinada por sus valores en una única vecindad abierta en D , o incluso en un subconjunto contable de D (siempre que contenga una secuencia convergente). Esto no es cierto en general para funciones diferenciables reales, incluso funciones diferenciables infinitamente reales . En comparación, las funciones analíticas son una noción mucho más rígida. De manera informal, a veces se resume el teorema diciendo que las funciones analíticas son "duras" (a diferencia de, digamos, funciones continuas que son "blandas").
El supuesto de conectividad en el dominio D es necesario. Por ejemplo, si D consta de dos conjuntos abiertos disjuntos , puede ser en un conjunto abierto, y en otro, mientras es en uno, y en otro.
Lema
Si dos funciones holomórficas f y g en un dominio D concuerdan en un conjunto S que tiene un punto de acumulación c en D , entonces f = g en un disco en centrado en .
Para probar esto, basta con demostrar que para todos .
Si este no es el caso, sea m el entero no negativo más pequeño con. Por holomorfia, tenemos la siguiente representación de la serie de Taylor en algún vecindario abierto U de c :
Por continuidad, h es distinto de cero en algún pequeño disco abierto B alrededor de c . Pero luego f - g ≠ 0 en el conjunto perforado B - { c }. Esto contradice la suposición de que c es un punto de acumulación de { f = g }.
Este lema muestra que para un número complejo a , la fibra f −1 ( a ) es un conjunto discreto (y por lo tanto contable), a menos que f ≡ a .
Prueba
Defina el set en el que y tienen la misma expansión de Taylor:
Te mostraremos no está vacío, abierto y cerrado. Entonces, por la conectividad de, debe ser todo de , lo que implica en .
Por el lema, en un disco centrado en en , tienen la misma serie de Taylor en , entonces , no está vacío.
Como y son holomorfos en , , la serie Taylor de y a tienen un radio de convergencia distinto de cero . Por lo tanto, el disco abiertotambién se encuentra en S para algunos r . Entonces S está abierto.
Por holomorfia de y , tienen derivados holomórficos, por lo que todos son continuos. Esto significa que está cerrado para todos . es una intersección de conjuntos cerrados, por lo que está cerrada.
Caracterización completa
Dado que el teorema de identidad se ocupa de la igualdad de dos funciones holomórficas , podemos simplemente considerar la diferencia (que sigue siendo holomórfica) y simplemente podemos caracterizar cuándo una función holomórfica es idénticamente. El siguiente resultado se puede encontrar en. [1]
Afirmar
Dejar denotar un subconjunto abierto conectado no vacío del plano complejo. Para los siguientes son equivalentes.
Las direcciones (12) y (13) aguantar trivialmente.
Para (31) , por la conexión de basta con demostrar que el subconjunto no vacío, , está abierto. Dado que las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, es decir, está claro que está cerrado. Para mostrar apertura, considere algunos. Considere una bola abierta conteniendo , en el cual tiene una expansión convergente de la serie de Taylor centrada en . En virtud de, todos los coeficientes de esta serie son , de donde en . De ello se deduce que todos-derivados de están en , de donde . Entonces cada yace en el interior de .
Hacia (23) , fijar un punto de acumulación. Ahora probamos directamente por inducción que para cada . Con este fin deja ser estrictamente menor que el radio de convergencia de la expansión de la serie de potencias de alrededor , dada por . Arregle ahora algunos y asumir que para todos . Entonces para manipulación de los rendimientos de expansión de la serie de potencias
Tenga en cuenta que, dado que es menor que el radio de la serie de potencias, se puede deducir fácilmente que la serie de potencias es continuo y, por tanto, limitado a . Ahora, desde es un punto de acumulación en , hay una secuencia de puntos convergente a . Desde en y ya que cada , la expresión en (1) produce
Por la delimitación de en , resulta que , de donde . Por inducción, el reclamo se mantiene.
^ Guido Walz, ed. (2017). Lexikon der Mathematik (en alemán). 2 . Mannheim: Springer Spektrum Verlag. pag. 476. ISBN 978-3-662-53503-5.
Ablowitz, Mark J .; Fokas AS (1997). Variables complejas: Introducción y aplicaciones . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 122. ISBN 0-521-48058-2.