Línea imaginaria (matemáticas)

En geometría compleja , una línea imaginaria es una línea recta que solo contiene un punto real . Se puede demostrar que este punto es el punto de intersección con la línea conjugada . ^[1]

Es un caso especial de curva imaginaria .

Una línea imaginaria se encuentra en el plano proyectivo complejo P ² (C) donde los puntos están representados por tres coordenadas homogéneas. ${\displaystyle (x_{1},\ x_{2},\ x_{3}),\quad x_{i}\in C.}$

Boyd Patterson describió las líneas en este plano: ^[2]

El lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal homogénea con coeficientes complejos.

${\displaystyle a_{1}\ x_{1}+\ a_{2}\ x_{2}\ +a_{3}\ x_{3}\ =\ 0}$

es una línea recta y la línea es real o imaginaria según que los coeficientes de su ecuación sean o no proporcionales a tres números reales .

Felix Klein describió las estructuras geométricas imaginarias: "Caracterizaremos una estructura geométrica como imaginaria si sus coordenadas no son todas reales: ^[3]

Según Hatton: ^[4]

El lugar de los puntos dobles (imaginarios) de las involuciones superpuestas en las que un lápiz de involución superpuesto (real) es cortado por transversales reales es un par de líneas rectas imaginarias.

Hatton continúa,

De ahí se sigue que una línea recta imaginaria está determinada por un punto imaginario, que es un punto doble de una involución, y un punto real, el vértice del lápiz de involución.

Ver también

• Punto imaginario
• Curva real
• Secciones cónicas
• Número imaginario

Referencias

1. Patterson, BC (1941), "El plano inverso", The American Mathematical Monthly , 48 : 589–599, doi : 10.2307 / 2303867 , MR  0006034.
2. Patterson 590
3. Klein 1928 p 46
4. Hatton 1929 página 13, definición 4

• JLS Hatton (1920) La teoría de lo imaginario en geometría junto con la trigonometría de lo imaginario , Cambridge University Press a través de Internet Archive
• Felix Klein (1928) Vorlesungen über nicht-euklischen Geometrie , Julius Springer .