curva algebraica
En matemáticas , una curva plana algebraica afín es el conjunto cero de un polinomio en dos variables. Una curva plana algebraica proyectiva es el cero puesto en un plano proyectivo de un polinomio homogéneo en tres variables. Una curva plana algebraica afín se puede completar en una curva plana algebraica proyectiva homogeneizando su polinomio definitorio. Por el contrario, una curva plana algebraica proyectiva de ecuación homogénea h ( x , y , t ) = 0 puede restringirse a la curva plana algebraica afín de ecuación h( X , y , 1) = 0 . Estas dos operaciones son cada una inversa a la otra; por lo tanto, la frase curva plana algebraica se usa a menudo sin especificar explícitamente si se considera el caso afín o proyectivo.
Más generalmente, una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. De manera equivalente, una curva algebraica es una variedad algebraica que es birracionalmente equivalente a una curva plana algebraica. Si la curva está contenida en un espacio afín o en un espacio proyectivo , se puede tomar una proyección para tal equivalencia birracional.
Estas equivalencias birracionales reducen la mayor parte del estudio de las curvas algebraicas al estudio de las curvas planas algebraicas. Sin embargo, algunas propiedades no se mantienen bajo equivalencia birracional y deben estudiarse en curvas no planas. Este es, en particular, el caso del grado y la suavidad . Por ejemplo, existen curvas suaves de género 0 y grado mayor que dos, pero cualquier proyección plana de tales curvas tiene puntos singulares (consulte la fórmula Género-grado ).
Una curva algebraica en el plano euclidiano es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas son las soluciones de una ecuación polinomial bivariada p ( x , y ) = 0. Esta ecuación suele denominarse ecuación implícita de la curva, en contraste con las curvas que son la gráfica de una función que define explícitamente y como una función de x .
Con una curva dada por tal ecuación implícita, los primeros problemas son determinar la forma de la curva y dibujarla. Estos problemas no son tan fáciles de resolver como en el caso de la gráfica de una función, para la cual y puede calcularse fácilmente para varios valores de x . El hecho de que la ecuación definitoria sea un polinomio implica que la curva tiene algunas propiedades estructurales que pueden ayudar a resolver estos problemas.
Cada curva algebraica se puede descomponer de forma única en un número finito de arcos monótonos suaves (también llamados ramas ), a veces conectados por algunos puntos, a veces llamados "puntos notables", y posiblemente un número finito de puntos aislados llamados ánodos . Un arco monótono suave es el gráfico de una función suave definida y monótona en un intervalo abierto del eje x . En cada dirección, un arco es ilimitado (generalmente llamado arco infinito ) o tiene un punto final que es un punto singular (esto se definirá más adelante) o un punto con una tangente paralela a uno de los ejes de coordenadas.
