En matemáticas, el inmanante de una matriz fue definido por Dudley E. Littlewood y Archibald Read Richardson como una generalización de los conceptos de determinante y permanente .
Dejar ser una partición de y deja ser el correspondiente carácter teórico de la representación irreductible del grupo simétrico . El inmanante de un matriz asociado con el personaje se define como la expresión
Ejemplos de
El determinante es un caso especial de lo inmanante, donde es el carácter alterno , de S n , definido por la paridad de una permutación .
El permanente es el caso donde es el carácter trivial , que es idénticamente igual a 1.
Por ejemplo, para matrices, hay tres representaciones irreductibles de , como se muestra en la tabla de caracteres:
1 | 1 | 1 | |
1 | −1 | 1 | |
2 | 0 | −1 |
Como se indicó anteriormente, produce el permanente y produce el determinante, pero produce la operación que se asigna de la siguiente manera:
Propiedades
El inmanante comparte varias propiedades con determinantes y permanentes. En particular, el inmanante es multilineal en las filas y columnas de la matriz; y el inmanante es invariante bajo permutaciones de filas o columnas.
Littlewood y Richardson estudiaron la relación de las funciones inmanantes con Schur en la teoría de la representación del grupo simétrico .
Referencias
- DE Littlewood ; AR Richardson (1934). "Agrupar caracteres y álgebras" . Philosophical Transactions de la Royal Society A . 233 (721–730): 99–124. doi : 10.1098 / rsta.1934.0015 .
- DE Littlewood (1950). La teoría de los caracteres de grupo y las representaciones matriciales de grupos (2ª ed.). Universidad de Oxford. Press (reimpreso por AMS, 2006). pag. 81.