En álgebra abstracta y álgebra multilineal , una forma multilineal en un espacio vectorial sobre un campo es un mapa
que es por separado K - lineal en cada uno de sus k argumentos. [1] De manera más general, se pueden definir formas multilineales en un módulo sobre un anillo conmutativo . El resto de este artículo, sin embargo, solo considerará formas multilineales en espacios vectoriales de dimensión finita.
Una forma k multilineal en encima se llama un ( covariante ) k -tensor , y el espacio vectorial de tales formas generalmente se denota o . [2]
Producto tensor
Dado un k -tensory un ℓ -tensor, un producto , conocido como el producto tensorial , se puede definir mediante la propiedad
para todos . El producto tensorial de las formas multilineales no es conmutativo; sin embargo, es bilineal y asociativo:
- ,
y
Si forma una base para un espacio vectorial n -dimensional y es la base dual correspondiente para el espacio dual , luego los productos , con formar una base para . Como consecuencia, tiene dimensionalidad .
Ejemplos de
Formas bilineales
Si , se conoce como forma bilineal . Un ejemplo conocido e importante de una forma bilineal (simétrica) es el producto interno estándar (producto escalar) de los vectores.
Formas multilineales alternas
Una clase importante de formas multilineales son las formas multilineales alternas , que tienen la propiedad adicional de que [3]
dónde es una permutación ydenota su signo (+1 si es par, –1 si es impar). Como consecuencia, las formas multilineales alternas son antisimétricas con respecto al intercambio de dos argumentos cualesquiera (es decir, y ):
Con la hipótesis adicional de que la característica del campo no es 2, ajuste implica como corolario que ; es decir, el formulario tiene un valor de 0 siempre que dos de sus argumentos sean iguales. Sin embargo, tenga en cuenta que algunos autores [4] utilizan esta última condición como propiedad definitoria de las formas alternas. Esta definición implica la propiedad dada al principio de la sección, pero como se señaló anteriormente, la implicación inversa se cumple solo cuando.
Una forma k multilineal alterna en encima se llama un multicovector de grado k o k -covector , y el espacio vectorial de tales formas alternas, un subespacio de, generalmente se denota , o, usando la notación para el k- ésimo poder exterior isomórfico de(el espacio dual de), . [5] Tenga en cuenta que los funcionales lineales (formas 1 multilineales sobre) se alternan trivialmente, de modo que , mientras que, por convención, las formas 0 se definen como escalares: .
El determinante de matrices, vistas como un función argumento de los vectores de columna, es un ejemplo importante de una forma multilineal alterna.
Producto exterior
El producto tensorial de formas multilineales alternas, en general, ya no es alternante. Sin embargo, al sumar todas las permutaciones del producto tensorial, teniendo en cuenta la paridad de cada término, el producto exterior (, también conocido como el producto de la cuña ) de multicovectores se pueden definir, de modo que si y , luego :
donde la suma se toma sobre el conjunto de todas las permutaciones sobre elementos, . El producto exterior es bilineal, asociativo y escalonado-alterno: si y luego .
Dada una base por y base dual por , los productos exteriores , con formar una base para . Por tanto, la dimensionalidad depara n- dimensional es .
Formas diferenciales
Las formas diferenciales son objetos matemáticos construidos a través de espacios tangentes y formas multilineales que se comportan, en muchos sentidos, como diferenciales en el sentido clásico. Aunque conceptualmente y computacionalmente útiles, los diferenciales se basan en nociones mal definidas de cantidades infinitesimales desarrolladas temprano en la historia del cálculo . Las formas diferenciales proporcionan un marco matemáticamente riguroso y preciso para modernizar esta idea de larga data. Las formas diferenciales son especialmente útiles en cálculo multivariable (análisis) y geometría diferencial porque poseen propiedades de transformación que les permiten integrarse en curvas, superficies y sus análogos de dimensiones superiores ( variedades diferenciables ). Una aplicación de gran alcance es el enunciado moderno del teorema de Stokes , una amplia generalización del teorema fundamental del cálculo a dimensiones superiores.
La siguiente sinopsis se basa principalmente en Spivak (1965) [6] y Tu (2011). [3]
Definición de formas k diferenciales y construcción de formas 1
Para definir formas diferenciales en subconjuntos abiertos , primero necesitamos la noción del espacio tangente dea , generalmente denotado o . El espacio vectorial se puede definir más convenientemente como el conjunto de elementos (, con fijo) con suma vectorial y multiplicación escalar definida por y , respectivamente. Además, si es la base estándar para , luego es la base estándar análoga para . En otras palabras, cada espacio tangente puede considerarse simplemente como una copia de (un conjunto de vectores tangentes) basado en el punto . La colección (unión disjunta) de espacios tangentes de en absoluto se conoce como el paquete tangente de y generalmente se denota . Si bien la definición dada aquí proporciona una descripción simple del espacio tangente de, hay otras construcciones más sofisticadas que son más adecuadas para definir los espacios tangentes de colectores suaves en general ( ver el artículo sobre espacios tangentes para más detalles ).
Una forma k diferencial en se define como una función que asigna a cada un k -covector en el espacio tangente dea , generalmente denotado . En resumen, una forma k diferencial es un campo de covectores k . El espacio de k- formas en generalmente se denota ; así que sies una forma k diferencial , escribimos. Por convención, una función continua en es una forma 0 diferencial: .
Primero construimos formas 1 diferenciales a partir de formas 0 y deducimos algunas de sus propiedades básicas. Para simplificar la discusión a continuación, solo consideraremos formas diferenciales suaves construidas a partir de suaves () funciones. Dejarser una función suave. Definimos la forma 1 en por y por , dónde es la derivada total de a . (Recuerde que la derivada total es una transformación lineal). De particular interés son los mapas de proyección (también conocidos como funciones de coordenadas), definido por , dónde es la i- ésima coordenada estándar de. Las 1 formasse conocen como las formas 1 básicas ; se denotan convencionalmente. Si las coordenadas estándar de están , luego la aplicación de la definición de rendimientos , así que eso , dónde es el delta de Kronecker . [7] Por lo tanto, como el dual de la base estándar para, forma una base para . Como consecuencia, si es una forma 1 en , luego Se puede escribir como para funciones suaves . Además, podemos derivar una expresión para que coincide con la expresión clásica para un diferencial total:
[ Comentarios sobre la notación: En este artículo, seguimos la convención del cálculo tensorial y la geometría diferencial en la que los multivectores y multicovectores se escriben con índices inferior y superior, respectivamente. Dado que las formas diferenciales son campos de múltiples vectores, se emplean índices superiores para indexarlos. [3] La regla opuesta se aplica a los componentes de multivectores y multicovectores, que en su lugar se escriben con índices superior e inferior, respectivamente. Por ejemplo, representamos las coordenadas estándar del vector como , así que eso en términos de la base estándar . Además, los superíndices que aparecen en el denominador de una expresión (como en) se tratan como índices inferiores en esta convención. Cuando los índices se aplican e interpretan de esta manera, el número de índices superiores menos el número de índices inferiores en cada término de una expresión se conserva, tanto dentro de la suma como a través de un signo igual, una característica que sirve como un dispositivo mnemónico útil y ayuda a identificar los errores cometidos durante el cálculo manual.]
Operaciones básicas sobre formas k diferenciales
El producto exterior () y derivado exterior () son dos operaciones fundamentales sobre formas diferenciales. El producto exterior de una forma k y una forma ℓ es una-forma, mientras que la derivada exterior de una forma k es una-formulario. Así, ambas operaciones generan formas diferenciales de mayor grado de las de menor grado.
El producto exterior de formas diferenciales es un caso especial del producto exterior de multicovectores en general ( ver arriba ). Como ocurre en general con el producto exterior, el producto exterior de las formas diferenciales es bilineal, asociativo y escalonado-alternante .
Más concretamente, si y , luego
Además, para cualquier conjunto de índices ,
Si , , y , luego los índices de pueden organizarse en orden ascendente mediante una secuencia (finita) de dichos intercambios. Desde, implica que . Finalmente, como consecuencia de la bilinealidad, si y son las sumas de varios términos, su producto exterior obedece a la distributividad con respecto a cada uno de estos términos.
La colección de productos de exterior de 1 formas básicas constituye una base para el espacio de k- formas diferenciales . Por lo tanto, cualquier se puede escribir en la forma
dónde son funciones suaves. Con cada conjunto de índicescolocado en orden ascendente, (*) se dice que es la presentación estándar de.
En la sección anterior, el formulario 1 se definió tomando la derivada exterior de la forma 0 (función continua) . Ahora ampliamos esto definiendo el operador derivado exterior por . Si la presentación estándar de la forma k viene dado por (*), el -formulario es definido por
Una propiedad de que vale para todas las formas suaves es que la segunda derivada exterior de cualquier desaparece de forma idéntica: . Esto se puede establecer directamente a partir de la definición dey la igualdad de derivadas parciales mixtas de segundo orden defunciones ( consulte el artículo sobre formularios cerrados y exactos para obtener más detalles ).
Integración de formas diferenciales y teorema de Stokes para cadenas
Para integrar una forma diferencial sobre un dominio parametrizado, primero necesitamos introducir la noción del retroceso de una forma diferencial. En términos generales, cuando se integra una forma diferencial, la aplicación del retroceso la transforma de una manera que da cuenta correctamente de un cambio de coordenadas.
Dada una función diferenciable y forma k, nosotros llamamos el retroceso de por y definirlo como la forma k tal que
por , dónde es el mapa .
Si es una forma n en (es decir, ), definimos su integral sobre la unidad n- celda como la integral de Riemann iterada de:
A continuación, consideramos un dominio de integración parametrizado por una función diferenciable , conocido como n -cube . Para definir la integral de encima , nos "retiramos" de a la unidad n- celda:
Para integrar dominios más generales, definimos una cadena ncomo la suma formal de n -cubos y conjunto
Una definición apropiada de la - cadena , conocido como el límite de , [8] nos permite enunciar el célebre teorema de Stokes ( teorema de Stokes-Cartan) para cadenas en un subconjunto de:
Si es un suave -forma en un conjunto abierto y es un suave -cadena en , luego.
Usando maquinaria más sofisticada (p. Ej., Gérmenes y derivaciones ), el espacio tangente de cualquier colector liso (no necesariamente incrustado en ) Puede ser definido. Análogamente, una forma diferencial en una variedad general suave hay un mapa . El teorema de Stokes se puede generalizar aún más a variedades arbitrarias lisas con límite e incluso ciertos dominios "aproximados" ( ver el artículo sobre el teorema de Stokes para más detalles ).
Ver también
- Mapa bilineal
- Álgebra exterior
- Polinomio homogéneo
- Mapa multilineal
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Forma multilineal" . MathWorld .
- ^ Muchos autores utilizan la convención opuesta, escribiendopara denotar los tensores k contravariantes en y para denotar los tensores k covariantes en.
- ^ a b c Tu, Loring W. (2011). Introducción a los colectores (2ª ed.). Saltador. pp. 22 -23. ISBN 978-1-4419-7399-3.
- ^ Halmos, Paul R. (1958). Espacios vectoriales de dimensión finita (2ª ed.). Van Nostrand. pag. 50. ISBN 0-387-90093-4.
- ^ Usos de Spivakpara el espacio de k -covectores en. Sin embargo, esta notación se reserva más comúnmente para el espacio de formas k diferenciales en. En este artículo usamos para referirse a lo último.
- ^ Spivak, Michael (1965). Cálculo en colectores . WA Benjamin, Inc. págs. 75-146. ISBN 0805390219.
- ^ El delta de Kronecker generalmente se denota por y definido como . Aquí, la notación se utiliza para ajustarse a la convención de cálculo de tensor sobre el uso de índices superior e inferior.
- ↑ La definición formal del límite de una cadena es algo complicada y se omite aquí ( ver Spivak 1965 , pp. 98-99 para una discusión ). Intuitivamente, si se asigna a un cuadrado, luego es una combinación lineal de funciones que se asigna a sus bordes en sentido antihorario. El límite de una cadena es distinto de la noción de límite en la topología de conjuntos de puntos.