En la matemática campo de la teoría de la representación , una representación trivial es una representación ( V , φ ) de un grupo G en el que todos los elementos de G actúan como la asignación de identidad de V . Una representación trivial de un álgebra asociativa o de Lie es una representación de álgebra (de Lie ) para la cual todos los elementos del álgebra actúan como el mapa lineal cero ( endomorfismo ) que envía cada elemento deV al vector cero .
Para cualquier grupo o álgebra de Lie, siempre existe una representación trivial irreductible sobre cualquier campo , y es unidimensional, por lo tanto, única hasta el isomorfismo. Lo mismo es cierto para las álgebras asociativas a menos que se restrinja la atención a las álgebras unitales y las representaciones unitales.
Si bien la representación trivial está construida de tal manera que sus propiedades parecen tautólogas, es un objeto fundamental de la teoría. Una subrepresentación es equivalente a una representación trivial, por ejemplo, si consta de vectores invariantes; de modo que la búsqueda de tales subrepresentaciones es todo el tema de la teoría invariante .