En matemáticas , una curva implícita es una curva plana definida por una ecuación implícita relativa de dos coordenadas las variables, comúnmente x y y . Por ejemplo, el círculo unitario se define mediante la ecuación implícita. En general, cada curva implícita se define mediante una ecuación de la forma
para alguna función F de dos variables. Por tanto, una curva implícita puede considerarse como el conjunto de ceros de una función de dos variables. Implícito significa que la ecuación no se expresa como una solución para x en términos de y o viceversa.
Si es un polinomio en dos variables, la curva correspondiente se llama curva algebraica y existen métodos específicos para estudiarla.
Las curvas planas se pueden representar en coordenadas cartesianas ( coordenadas x , y ) mediante cualquiera de los tres métodos, uno de los cuales es la ecuación implícita dada anteriormente. La gráfica de una función generalmente se describe mediante una ecuaciónen el que se indica explícitamente la forma funcional; esto se llama representación explícita . La tercera descripción esencial de una curva es la paramétrica uno, donde la x - y Y coordenadas x de puntos de la curva están representados por dos funciones x ( t ), y ( t ) ambas de cuyas formas funcionales se indique explícitamente, y que dependen en un parámetro común
Ejemplos de curvas implícitas incluyen:
- una línea :
- un circulo :
- la parábola semicúbica :
- Óvalos de Cassini (ver diagrama),
- (ver diagrama).
Los primeros cuatro ejemplos son curvas algebraicas, pero el último no es algebraico. Los primeros tres ejemplos poseen representaciones paramétricas simples, lo que no es cierto para los ejemplos cuarto y quinto. El quinto ejemplo muestra la estructura geométrica posiblemente complicada de una curva implícita.
El teorema de la función implícita describe las condiciones bajo las cuales una ecuaciónpuede resolverse implícitamente para x y / o y , es decir, bajo el cual se puede escribir válidamente o . Este teorema es la clave para el cálculo de las características geométricas esenciales de la curva: tangentes , normales y curvatura . En la práctica, las curvas implícitas tienen un inconveniente fundamental: su visualización es difícil. Pero hay programas de computadora que permiten mostrar una curva implícita. Las propiedades especiales de las curvas implícitas las convierten en herramientas esenciales en geometría y gráficos por computadora.
Una curva implícita con una ecuación puede considerarse como la curva de nivel del nivel 0 de la superficie (ver tercer diagrama).
Pendiente y curvatura
En general, las curvas implícitas fallan en la prueba de la línea vertical (lo que significa que algunos valores de x están asociados con más de un valor de y ) y, por lo tanto, no son necesariamente gráficos de funciones. Sin embargo, el teorema de la función implícita da condiciones bajo las cuales una curva implícita localmente viene dada por el gráfico de una función (por lo que, en particular, no tiene autointersecciones). Si las relaciones definitorias son suficientemente suaves, entonces, en tales regiones, las curvas implícitas tienen pendientes, líneas tangentes, vectores normales y curvatura bien definidas.
Hay varias formas posibles de calcular estas cantidades para una curva implícita dada. Un método consiste en utilizar la diferenciación implícita para calcular las derivadas de y con respecto a x . Alternativamente, para una curva definida por la ecuación implícita, se pueden expresar estas fórmulas directamente en términos de las derivadas parciales de. En lo que sigue, las derivadas parciales se denotan(para la derivada con respecto ax ),, (para el segundo parcial con respecto ax ), (para el segundo parcial mixto),
Vector tangente y normal
Un punto de curva es regular si las primeras derivadas parciales y no son ambos iguales a 0.
La ecuación de la recta tangente en un punto regular es
entonces la pendiente de la recta tangente, y por tanto la pendiente de la curva en ese punto, es
Si a la curva es vertical en ese punto, mientras que si ambos y en ese punto, la curva no es diferenciable allí, sino que es un punto singular , ya sea una cúspide o un punto donde la curva se interseca.
Un vector normal a la curva en el punto está dado por
(aquí escrito como un vector de fila).
Curvatura
Para la legibilidad de las fórmulas, los argumentos se omiten. La curvatura en un punto regular viene dado por la fórmula
- . [1]
Derivación de las fórmulas
El teorema de la función implícita garantiza dentro de una vecindad de un punto la existencia de una función tal que . Por la regla de la cadena , las derivadas de la función están
- y
(donde los argumentos en el lado derecho de la segunda fórmula se omiten para facilitar la lectura).
Insertar las derivadas de la función en las fórmulas para una tangente y curvatura de la gráfica de la ecuación explícita rendimientos
- (tangente)
- (curvatura).
Ventaja y desventaja de las curvas implícitas
Desventaja
La desventaja esencial de una curva implícita es la falta de una posibilidad fácil de calcular puntos individuales que es necesaria para la visualización de una curva implícita (ver la siguiente sección).
Ventajas
- Las representaciones implícitas facilitan el cálculo de los puntos de intersección: si una curva se representa implícitamente y la otra de forma paramétrica, el cálculo de los puntos de intersección solo necesita una iteración de Newton simple (unidimensional), que es contraria a los casos implícito-implícito y paramétrico-paramétrico ( ver Intersección ).
- Una representación implícita da la posibilidad de separar puntos que no están en la curva por el signo de . Esto puede ser útil, por ejemplo, aplicando el método de posición falsa en lugar de una iteración de Newton.
- Es fácil generar curvas que son casi geométricamente similares a la curva implícita dada. simplemente agregando un pequeño número: (ver la sección # Aproximaciones suaves ).
Aplicaciones de curvas implícitas
Dentro de las matemáticas, las curvas implícitas juegan un papel destacado como curvas algebraicas . Además, las curvas implícitas se utilizan para diseñar curvas de formas geométricas deseadas. A continuación se muestran dos ejemplos.
Aproximaciones suaves
Polígonos convexos
Se puede lograr una aproximación suave de un polígono convexo de la siguiente manera: Sea ser las ecuaciones de las líneas que contienen los bordes del polígono de manera que para un punto interior del polígono es positivo. Luego, un subconjunto de la curva implícita
con pequeño parámetro adecuado es una aproximación suave (diferenciable) del polígono. Por ejemplo, las curvas
- por
contienen aproximaciones suaves de un polígono con 5 aristas (ver diagrama).
Pares de líneas
En caso de dos líneas
uno consigue
- un lápiz de líneas paralelas , si las líneas dadas son paralelas o
- el lápiz de hipérbolas, que tienen las líneas dadas como asíntotas.
Por ejemplo, el producto de las variables de los ejes de coordenadas produce el lápiz de hipérbolas , que tienen los ejes de coordenadas como asíntotas.
Otros
Si uno comienza con curvas simples implícitas distintas de las líneas (círculos, parábolas, ...) se obtiene una amplia gama de curvas nuevas e interesantes. Por ejemplo,
(producto de un círculo y el eje x) produce aproximaciones suaves de la mitad de un círculo (ver imagen), y
(producto de dos círculos) produce aproximaciones suaves de la intersección de dos círculos (ver diagrama).
Mezcla de curvas
En CAD, se utilizan curvas implícitas para la generación de curvas de fusión , [2] [3] que son curvas especiales que establecen una transición suave entre dos curvas dadas. Por ejemplo,
genera curvas de fusión entre los dos círculos
El método garantiza la continuidad de las tangentes y curvaturas en los puntos de contacto (ver diagrama). Las dos lineas
determinar los puntos de contacto en los círculos. Parámetroes un parámetro de diseño. En el diagrama,.
Curvas equipotenciales de dos cargas puntuales
Curvas equipotenciales de dos cargas puntuales iguales en los puntos puede ser representado por la ecuación
Las curvas son similares a los óvalos de Cassini , pero no son tales curvas.
Visualización de una curva implícita
Para visualizar una curva implícita, generalmente se determina un polígono en la curva y se muestra el polígono. Para una curva paramétrica, esta es una tarea fácil: uno simplemente calcula los puntos de una secuencia de valores paramétricos. Para una curva implícita uno tiene que resolver dos subproblemas:
- determinación de un primer punto de la curva a un punto de partida dado en las proximidades de la curva,
- determinación de un punto de curva a partir de un punto de curva conocido.
En ambos casos es razonable suponer . En la práctica, esta suposición se viola solo en puntos aislados.
Algoritmo de puntos
Para la solución de ambas tareas mencionadas anteriormente es imprescindible disponer de un programa informático (al que llamaremos ), que, cuando se le da un punto cerca de una curva implícita, encuentra un punto que está exactamente en la curva:
- (P1) para el punto de inicio es
- (P2) repetir
- ( Paso de Newton para la función )
- (P3) hasta que la distancia entre los puntos es lo suficientemente pequeño.
- (P4) es el punto de la curva cerca del punto de inicio .
Algoritmo de seguimiento
Para generar un polígono espaciado casi por igual en la curva implícita, se elige una longitud de paso y
- (T1) elige un punto de partida adecuado en las proximidades de la curva
- (T2) determina un primer punto de curva usando el programa
- (T3) determina la tangente (ver arriba), elige un punto de inicio en la tangente usando la longitud del paso (ver diagrama) y determina un segundo punto de curva usando el programa .
Debido a que el algoritmo rastrea la curva implícita, se le llama algoritmo de rastreo . El algoritmo solo traza partes conectadas de la curva. Si la curva implícita consta de varias partes, debe iniciarse varias veces con puntos de partida adecuados.
Algoritmo ráster
Si la curva implícita consta de varias partes o incluso de partes desconocidas, puede ser mejor utilizar un algoritmo de rasterización . En lugar de seguir exactamente la curva, un algoritmo ráster cubre toda la curva en tantos puntos que se mezclan y se parecen a la curva.
- (R1) Genere una red de puntos (raster) en el área de interés del plano xy.
- (R2) Para cada punto en el ráster, ejecuta el algoritmo de puntos comenzando desde P, luego marque su salida.
Si la red es lo suficientemente densa, el resultado se aproxima a las partes conectadas de la curva implícita. Si para otras aplicaciones se necesitan polígonos en las curvas, se pueden rastrear partes de interés mediante el algoritmo de rastreo.
Curvas espaciales implícitas
Cualquier curva espacial definida por dos ecuaciones
se llama curva espacial implícita .
Un punto de curva se llama regular si el producto cruzado de los gradientes y no es en este punto:
de lo contrario, se llama singular . Vectores un vector tangente de la curva en el punto
Ejemplos:
- es una línea.
- is a plane section of a sphere, hence a circle.
- is an ellipse (plane section of a cylinder).
- is the intersection curve between a sphere and a cylinder.
For the computation of curve points and the visualization of an implicit space curve see Intersection.
Ver también
Referencias
- ^ Goldman, R. (2005). "Curvature formulas for implicit curves and surfaces". Computer Aided Geometric Design. 22 (7): 632. CiteSeerX 10.1.1.413.3008. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005.
- ^ C. Hoffmann & J. Hopcroft: The potential method for blending surfaces and corners in G. Farin (Ed) Geometric-Modeling, SIAM, Philadelphia, pp. 347-365
- ^ E. Hartmann: Blending of implicit surfaces with functional splines, CAD,Butterworth-Heinemann, Volume 22 (8), 1990, p. 500-507
- ^ G. Taubin: Distance Approximations for Rastering Implicit Curves. ACM Transactions on Graphics, Vol. 13, No. 1, 1994.
- Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C.: Implicit Curves and Surfaces: Mathematics, Data Structures and Algorithms, 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882-405-8
- C:L: Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch: Tracing surface intersections, Comp. Aided Geom. Design 5 (1988), 285-307.
- Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN
enlaces externos
- Famous Curves