En teoría de la probabilidad , una distribución indescomponible es una distribución de probabilidad de que no se puede representar como la distribución de la suma de dos o más no constantes independientes variables aleatorias : Z ≠ X + Y . Si se puede por lo expresa, es descomponible: Z = X + Y . Si, además, se puede expresar como la distribución de la suma de dos o más variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica , entonces es divisible: Z = X 1 + X 2 .
Ejemplos de
Indecomponible
- Los ejemplos más simples son distribuciones de Bernoulli : si
- entonces la distribución de probabilidad de X es indecomponible.
- Prueba: Teniendo en cuenta no constantes distribuciones de U y V, de manera que U asume al menos dos valores un , b y V asume dos valores c , d, con un < b y c < d , entonces U + V asume al menos tres valores distintos : a + c , a + d , b + d ( b + c puede ser igual a a + d , por ejemplo si se usa 0, 1 y 0, 1). Por tanto, la suma de distribuciones no constantes asume al menos tres valores, por lo que la distribución de Bernoulli no es la suma de distribuciones no constantes.
- Suponga que a + b + c = 1, a , b , c ≥ 0, y
- Esta distribución de probabilidad es descomponible (como la distribución de la suma de dos variables aleatorias distribuidas por Bernoulli ) si
- y por lo demás indescomponible. Para ver esto, suponga que U y V son variables aleatorias independientes y que U + V tiene esta distribución de probabilidad. Entonces debemos tener
- para algunos p , q ∈ [0, 1], con un razonamiento similar al caso de Bernoulli (de lo contrario, la suma U + V asumirá más de tres valores). Resulta que
- Este sistema de dos ecuaciones cuadráticas en dos variables p y q tiene una solución ( p , q ) ∈ [0, 1] 2 si y sólo si
- Así, por ejemplo, la distribución uniforme discreta en el conjunto {0, 1, 2} es indecomponible, pero la distribución binomial para tres ensayos cada uno tiene probabilidades 1/2, 1/2, dando así las respectivas probabilidades a, b, c como 1/4, 1/2, 1/4, es descomponible.
- Una distribución indecomponible absolutamente continua . Se puede demostrar que la distribución cuya función de densidad es
- es indescomponible.
Descomponible
- Todas las distribuciones infinitamente divisibles son a fortiori descomponibles; en particular, esto incluye las distribuciones estables , como la distribución normal .
- La distribución uniforme en el intervalo [0, 1] es descomponible, ya que es la suma de la variable de Bernoulli que asume 0 o 1/2 con probabilidades iguales y la distribución uniforme en [0, 1/2]. Iterando esto produce la descomposición infinita:
- donde las variables aleatorias independientes X n son cada una igual a 0 o 1 con probabilidades iguales - esta es una prueba de Bernoulli de cada dígito de la expansión binaria.
- Una suma de variables aleatorias indecomponibles es necesariamente descomponible (ya que es una suma), y de hecho, a fortiori, puede ser una distribución infinitamente divisible (no solo descomponible como la suma dada). Suponga que una variable aleatoria Y tiene una distribución geométrica
- el {0, 1, 2, ...}. Para cualquier entero positivo k , existe una secuencia de variables aleatorias distribuidas binomialmente negativamente Y j , j = 1, ..., k , tal que Y 1 + ... + Y k tiene esta distribución geométrica. Por tanto, esta distribución es infinitamente divisible. Pero ahora sea D n el n- ésimo dígito binario de Y , para n ≥ 0. Entonces las D s son independientes y
- [ aclaración necesaria ]
- y cada término de esta suma es indescomponible.
Conceptos relacionados
En el otro extremo de la indecomponibilidad está la divisibilidad infinita .
- El teorema de Cramér muestra que, si bien la distribución normal es infinitamente divisible, solo se puede descomponer en distribuciones normales.
- El teorema de Cochran muestra que los términos en una descomposición de una suma de cuadrados de variables aleatorias normales en sumas de cuadrados de combinaciones lineales de estas variables siempre tienen distribuciones chi-cuadrado independientes .
Ver también
Referencias
- Linnik, Yu. V. y Ostrovskii, IV Descomposición de variables aleatorias y vectores , Amer. Matemáticas. Soc., Providence RI, 1977.
- Lukacs, Eugene, Funciones características , Nueva York, Hafner Publishing Company, 1970.