La lógica amigable con la independencia ( lógica IF ; propuesta por Jaakko Hintikka y Gabriel Sandu en 1989) [1] es una extensión de la lógica clásica de primer orden (FOL) por medio de cuantificadores recortados de la forma y , dónde es un conjunto finito de variables. La lectura prevista de es "hay un que es funcionalmente independiente de las variables en ". La lógica IF permite expresar patrones de dependencia entre variables más generales que los implícitos en la lógica de primer orden. Este mayor nivel de generalidad conduce a un aumento real del poder expresivo; el conjunto de oraciones IF puede caracterizar las mismas clases de estructuras como lógica existencial de segundo orden (). Por ejemplo, puede expresar frases cuantificadoras ramificadas , como la fórmulaque expresa infinito en la firma vacía; esto no se puede hacer en FOL. Por tanto, la lógica de primer orden no puede, en general, expresar este patrón de dependencia, en el quedepende solo de y , y depende solo de y . La lógica IF es más general que los cuantificadores de ramificación , por ejemplo porque puede expresar dependencias que no son transitivas, como en el prefijo del cuantificador., que expresa que depende de , y depende de , pero no depende de .
La introducción de la lógica SI fue motivada en parte por el intento de extender la semántica del juego de la lógica de primer orden a los juegos de información imperfecta . De hecho, se puede dar una semántica para las oraciones IF en términos de este tipo de juegos (o, alternativamente, mediante un procedimiento de traducción a la lógica existencial de segundo orden). Una semántica para fórmulas abiertas no puede darse en forma de semántica tarskiana ; [2] una semántica adecuada debe especificar lo que significa que una fórmula sea satisfecha por un conjunto de asignaciones de dominio de variable común (un equipo ) en lugar de satisfacción por una sola asignación. Esta semántica de equipo fue desarrollada por Hodges . [3]
Independencia lógica de usar traducción es equivalente, a nivel de frases, con un número de otros sistemas lógicos basados en la semántica del equipo, como la lógica dependencia , la lógica de la dependencia de usar , la lógica de la exclusión y la lógica de la independencia ; con la excepción de este último, se sabe que la lógica IF es equivalente a estas lógicas también a nivel de fórmulas abiertas. Sin embargo, la lógica SI se diferencia de todos los sistemas mencionados anteriormente en que carece de localidad : el significado de una fórmula abierta no puede describirse solo en términos de las variables libres de la fórmula; en cambio, depende del contexto en el que se produce la fórmula.
La lógica favorable a la independencia comparte una serie de propiedades metalógicas con la lógica de primer orden, pero hay algunas diferencias, incluida la falta de cierre bajo la negación (clásica, contradictoria) y una mayor complejidad para decidir la validez de las fórmulas. La lógica IF extendida aborda el problema del cierre, pero su semántica de la teoría del juego es más complicada, y dicha lógica corresponde a un fragmento más grande de lógica de segundo orden, un subconjunto adecuado de. [4]
Hintikka ha argumentado [5] que IF y la lógica IF extendida deben usarse como base para los fundamentos de las matemáticas ; esta propuesta ha sido recibida en algunos casos con escepticismo. [6]
Sintaxis
En la literatura han aparecido varias presentaciones ligeramente diferentes de la lógica favorable a la independencia; aquí seguimos a Mann et al (2011). [7]
Términos y fórmulas atómicas
Para una firma fija σ, los términos y fórmulas atómicas se definen exactamente como en la lógica de primer orden con igualdad .
Fórmulas IF
Las fórmulas de la lógica IF se definen de la siguiente manera:
- Cualquier fórmula atómica es una fórmula IF.
- Si es una fórmula SI, entonces es una fórmula IF.
- Si y son fórmulas SI, entonces y son fórmulas SI.
- Si es una fórmula, es una variable, y es un conjunto finito de variables, entonces y también son fórmulas SI.
Variables libres
El conjunto de las variables libres de una fórmula SI se define inductivamente como sigue:
- Si es una fórmula atómica, entonces es el conjunto de todas las variables que ocurren en él.
- ;
- ;
- .
La última cláusula es la única que se diferencia de las cláusulas para la lógica de primer orden, con la diferencia de que también las variables en el conjunto de barras se cuentan como variables libres.
Oraciones IF
Una fórmula IF tal que es una oración IF .
Semántica
Se han propuesto tres enfoques principales para la definición de la semántica de la lógica IF. Los dos primeros, basados respectivamente en juegos de información imperfecta y en Skolemización, se utilizan principalmente en la definición de oraciones IF únicamente. El primero generaliza un enfoque similar, para la lógica de primer orden, que se basa en cambio en juegos de información perfecta . El tercer enfoque, la semántica de equipo , es una semántica compositiva en el espíritu de la semántica de Tarsk. Sin embargo, esta semántica no define lo que significa que una fórmula sea satisfecha por una asignación (más bien, por un conjunto de asignaciones). Los dos primeros enfoques se desarrollaron en publicaciones anteriores sobre la lógica if; [8] [9] el tercero de Hodges en 1997. [10] [11]
En esta sección, diferenciamos los tres enfoques escribiendo pedices distintos, como en . Dado que los tres enfoques son fundamentalmente equivalentes, solo el símbolo se utilizará en el resto del artículo.
Semántica de teoría de juegos
La semántica de teoría de juegos asigna valores de verdad a las oraciones SI de acuerdo con las propiedades de algunos juegos de 2 jugadores con información imperfecta. Para facilitar la presentación, es conveniente asociar los juegos no solo a las oraciones, sino también a las fórmulas. Más precisamente, uno define juegos por cada triple formado por una fórmula IF , una estructura y una tarea .
Jugadores
El juego semántico tiene dos jugadores, llamados Eloise (o Verificador) y Abelard (o Falsificador).
Reglas del juego
Los movimientos permitidos en el juego semántico. están determinadas por la estructura sintáctica de la fórmula considerada. Por simplicidad, primero asumimos que está en forma normal de negación, con símbolos de negación que aparecen solo delante de subfórmulas atómicas.
- Si es literal, el juego termina y, si es cierto en (en el sentido de primer orden), entonces Eloise gana; de lo contrario, Abelardo gana.
- Si , luego Abelardo elige una de las subfórmulas , y el juego correspondiente es jugado.
- Si , luego Eloises elige una de las subfórmulas , y el juego correspondiente es jugado.
- Si , luego Abelardo elige un elemento de y juego es jugado.
- Si , luego Eloise elige un elemento de y juego es jugado.
De manera más general, si no está en forma normal de negación, podemos afirmar, como regla para la negación, que, cuando un juego se alcanza, los jugadores comienzan a jugar un juego dual en el que se intercambian los roles de Verificadores y Falsificadores.
Historias
De manera informal, una secuencia de movimientos en un juego es una historia. Al final de cada historia, algún subjuego es jugado; nosotros llamamosla asignación asociada a , y la ocurrencia de la subfórmula asociada a . El jugador asociado a es Eloise en caso de que el operador lógico más externo en es o , y Abelardo en caso de que sea o .
El conjunto de movimientos permitidos en una historia es si el operador más externo de es o ; es ( siendo dos objetos distintos, que simbolizan 'izquierda' y 'derecha') en caso de que el operador más externo de es o .
Dadas dos asignaciones del mismo dominio, y nosotros escribimos Si en cualquier variable .
La información imperfecta se introduce en los juegos estipulando que ciertas historias son indistinguibles para el jugador asociado; Se dice que las historias indistinguibles forman un "conjunto de información". Intuitivamente, si la historia está en el conjunto de información , el jugador asociado a no sabe si está en o en alguna otra historia de . Considere dos historias tal que el asociado son ocurrencias de subfórmula idénticas de la forma ( o ); si ademas, nosotros escribimos (en caso ) o (en caso ), para especificar que las dos historias son indistinguibles para Eloise, resp. para Abelard. También estipulamos, en general, la reflexividad de esta relación: si, luego ; y si, luego .
Estrategias
Para un juego fijo , escribir para el conjunto de historias a las que Eloise está asociada, y de manera similar para el conjunto de historias de Abelardo.
Una estrategia para Eloise en el juego.es cualquier función que asigne, a cualquier posible historial en el que sea el turno de jugar de Eloise, una jugada legal; más precisamente, cualquier función tal que por cada historia . Se pueden definir dualmente las estrategias de Abelardo.
Una estrategia para Eloise es uniforme si, siempre que, ; para Abelardo, si implica .
Una estrategia porque Eloise está ganando si Eloise gana en cada terminal histórico que se puede alcanzar jugando de acuerdo con. Lo mismo ocurre con Abelardo.
Verdad, falsedad, indeterminación
Una sentencia IF es cierto en una estructura () si Eloise tiene una estrategia ganadora uniforme en el juego . Es falsa () si Abelardo tiene una estrategia ganadora. No está determinado si ni Eloise ni Abelard tienen una estrategia ganadora.
Conservadurismo
La semántica de la lógica IF así definida es una extensión conservadora de la semántica de primer orden, en el siguiente sentido. Si es una oración IF con conjuntos de barras vacías, asóciele la fórmula de primer orden que es idéntico a él, excepto en que cada cuantificador de FI se reemplaza por el correspondiente cuantificador de primer orden . Luego si en el sentido tarskiano; y si en el sentido tarskiano.
Fórmulas abiertas
Se pueden usar juegos más generales para asignar un significado a fórmulas IF (posiblemente abiertas); más exactamente, es posible definir lo que significa para una fórmula IF estar satisfecho, en una estructura , por un equipo (un conjunto de asignaciones de dominio variable común y codominio ). Los juegos asociados comenzar con la elección aleatoria de una tarea ; después de este movimiento inicial, el juegoes jugado. La existencia de una estrategia ganadora para Eloise define la satisfacción positiva (), y la existencia de una estrategia ganadora para Abelard define la satisfacción negativa (). En este nivel de generalidad, la semántica teórica de juegos puede ser reemplazada por un enfoque algebraico, semántica de equipo (definida a continuación).
Semántica de Skolem
Alternativamente, se puede dar una definición de verdad para las oraciones IF mediante una traducción a la lógica existencial de segundo orden. La traducción generaliza el procedimiento de Skolemización de la lógica de primer orden. La falsedad se define mediante un procedimiento dual llamado Kreiselization.
Skolemización
Dada una fórmula IF , primero definimos su skolemización relativizada a un conjunto finito de variables. Por cada cuantificador existencial ocurriendo en , dejar ser un nuevo símbolo de función (una "función Skolem"). Nosotros escribimos para la fórmula que se obtiene sustituyendo, en , todas las apariciones libres de la variable con el término . La Skolemización de relativo a , denotado , está definido por las siguientes cláusulas inductivas:
- Si es un literal.
- .
- .
- .
- , dónde es una lista de las variables en .
Si es una oración SI, su Skolemización (no relativizada) se define como .
Kreiselización
Dada una fórmula IF , asociado, a cada cuantificador universal que aparece en él, un nuevo símbolo de función (una "función de Kreisel"). Entonces, la Kreiselization de relativo a un conjunto finito de variables , está definido por las siguientes cláusulas inductivas:
- Si es un literal.
- .
- .
- , dónde es una lista de las variables en .
Si es una oración SI, su Kreiselización (no relativizada) se define como .
Verdad, falsedad, indeterminación
Dada una sentencia IF con cuantificadores existenciales, una estructura y una lista de funciones de aridades apropiadas, denotamos como la expansión de que asigna las funciones como interpretaciones de las funciones de Skolem de .
Una oración SI es verdadera en una estructura , escrito , si hay una tupla de funciones tales que . Similar, si hay una tupla de funciones tales que ; y si no se cumple ninguna de las condiciones anteriores.
Para cualquier oración IF, Skolem Semantics devuelve los mismos valores que la Semántica teórica de juegos. [ cita requerida ]
Semántica de equipo
Por medio de la semántica de equipo, es posible dar una explicación compositiva de la semántica de la lógica IF. La verdad y la falsedad se basan en la noción de "satisfacción de una fórmula por parte de un equipo".
Equipos
Dejar ser una estructura y dejarser un conjunto finito de variables. Entonces un equipo sobre con dominio es un conjunto de asignaciones sobre con dominio , es decir, un conjunto de funciones de a .
Duplicar y complementar equipos
Duplicar y complementar son dos operaciones en equipos que están relacionadas con la semántica de la cuantificación universal y existencial.
- Dado un equipo sobre una estructura y una variable , el equipo de duplicación es el equipo . [12]
- Dado un equipo sobre una estructura , Una función y una variable , el equipo complementario es el equipo .
Es habitual reemplazar las aplicaciones repetidas de estas dos operaciones con notaciones más breves, como por .
Funciones uniformes en equipos
Como arriba, dadas dos asignaciones con el mismo dominio variable, escribimos Si para cada variable .
Dado un equipo en una estructura y un conjunto finito de variables, decimos que una función es -uniforme si cuando sea .
Cláusulas semánticas
La semántica del equipo tiene tres valores, en el sentido de que una fórmula puede ser satisfecha positivamente por un equipo en una estructura dada, o satisfecha negativamente por ella, o ninguna de las dos. Las cláusulas semánticas para la satisfacción positiva y negativa se definen por inducción simultánea en la estructura sinctáctica de las fórmulas de FI.
Satisfacción positiva:
- si y solo si, para cada tarea , en el sentido de la lógica de primer orden (es decir, la tupla está en la interpretación de ).
- si y solo si, para cada tarea , en el sentido de la lógica de primer orden (es decir, ).
- si y solo si .
- si y solo si y .
- si y solo si existen equipos y tal que y y .
- si y solo si .
- si y solo si existe un -función uniforme tal que .
Satisfacción negativa:
- si y solo si, para cada tarea , la tupla no está en la interpretación de .
- si y solo si, para cada tarea , .
- si y solo si .
- si y solo si existen equipos y tal que y y .
- si y solo si y .
- si y solo si existe un -función uniforme tal que .
- si y solo si .
Verdad, falsedad, indeterminación
Según la semántica del equipo, una oración IF se dice que es verdad) en una estructura si está satisfecho en por el equipo singleton , en símbolos: . Similar, se dice que es falso) en Si ; se dice que es indeterminado) Si y .
Relación con la semántica de la teoría de juegos
Para cualquier equipo en una estructura y cualquier fórmula IF , tenemos: si y si .
De esto se sigue inmediatamente que, para las oraciones , , y .
Nociones de equivalencia
Dado que la lógica IF es, en su aceptación habitual, de tres valores, las nociones múltiples de equivalencia de fórmulas son de interés.
Equivalencia de fórmulas
Dejar ser dos fórmulas SI.
( la verdad implica ) Si para cualquier estructura y cualquier equipo tal que .
(es la verdad equivalente a) Si y .
( la falsedad implica ) Si para cualquier estructura y cualquier equipo tal que .
(es falsedad equivalente a) Si y .
( implica fuertemente a) Si y .
(es fuertemente equivalente a) Si y .
Equivalencia de oraciones
Las definiciones anteriores se especializan para las oraciones IF de la siguiente manera. Dos oraciones IFson verdad equivalentes si son verdaderas en las mismas estructuras; son falsedades equivalentes si son falsas en las mismas estructuras; son fuertemente equivalentes si son equivalentes tanto de verdad como de falsedad.
Intuitivamente, usar una fuerte equivalencia equivale a considerar la lógica SI como de 3 valores (verdadero / indeterminado / falso), mientras que la equivalencia de verdad trata las oraciones SI como si tuvieran 2 valores (verdadero / falso).
Equivalencia relativa a un contexto
Muchas reglas lógicas de la lógica FI sólo pueden expresarse adecuadamente en términos de nociones más restringidas de equivalencia, que tienen en cuenta el contexto en el que puede aparecer una fórmula.
Por ejemplo, si es un conjunto finito de variables y , se puede afirmar que es la verdad equivalente a relativo a () en caso para cualquier estructura y cualquier equipo de dominio .
Propiedades de la teoría de modelos
Nivel de oración
SI las oraciones pueden traducirse de una manera preservadora de la verdad en oraciones de lógica existencial de segundo orden (funcional) () mediante el procedimiento de Skolemización (ver arriba). Viceversa, cadase puede traducir a una oración IF mediante una variante del procedimiento de traducción de Walkoe-Enderton para cuantificadores parcialmente ordenados ( [13] [14] ). En otras palabras, SI la lógica yson expresivamente equivalentes a nivel de oraciones. Esta equivalencia puede usarse para probar muchas de las propiedades que siguen; son heredados de y en muchos casos similar a las propiedades de FOL.
Denotamos por un conjunto (posiblemente infinito) de oraciones IF.
- Propiedad de Löwenheim-Skolem: si tiene un modelo infinito, o modelos finitos arbitrariamente grandes, que modelos de cada cardinalidad infinita.
- Compacidad existencial: si todo finito tiene un modelo, entonces también tiene un modelo.
- Fallo de la compacidad deductiva: hay tal que , pero para cualquier finito . Esta es una diferencia con FOL.
- Teorema de separación: si son oraciones IF mutuamente inconsistentes, entonces hay una oración FOL tal que y . Ésta es una consecuencia del teorema de interpolación de Craig para FOL.
- Teorema de Burgess: [15] si son oraciones IF mutuamente inconsistentes, entonces hay una oración IF tal que y (excepto posiblemente para estructuras de un elemento). En particular, este teorema revela que la negación de la lógica SI no es una operación semántica con respecto a la equivalencia de verdad (las oraciones equivalentes de verdad pueden tener negaciones no equivalentes).
- Definibilidad de la verdad: [16] hay una oración IF, en el lenguaje de la aritmética de Peano, de modo que, para cualquier oración IF , (dónde denota una numeración de Gödel). Un enunciado más débil también es válido para modelos no estándar de aritmética de Peano ( [17] ).
Nivel de fórmula
La noción de satisfacibilidad por parte de un equipo tiene las siguientes propiedades:
- Cierre hacia abajo: si y , luego .
- Consistencia: y si y solo si .
- No localidad: hay tal que .
Dado que las fórmulas SI son satisfechas por equipos y las fórmulas de lógica clásica se satisfacen mediante asignaciones, no existe una intertraducción obvia entre fórmulas SI y fórmulas de algún sistema lógico clásico. Sin embargo, existe un procedimiento de traducción [18] de fórmulas IF en oraciones de relacional (en realidad, una traducción distinta para cada finito y para cada elección de un símbolo de predicado de aridad ). En este tipo de traducción, un símbolo de predicado extra n-ario se utiliza para representar un equipo de n variables . Esto está motivado por el hecho de que, una vez que se realiza un pedido de las variables de se ha solucionado, es posible asociar una relación al equipo . Con estas convenciones, una fórmula SI se relaciona con su traducción así:
dónde es la expansión de que asigna como interpretación del predicado .
A través de esta correlación, es posible decir que, en una estructura , una fórmula IF de n variables libres define una familia de relaciones n-arias sobre (la familia de los parientes tal que ).
En 2009, Kontinen y Väänänen, [19] demostraron, mediante un procedimiento de traducción inversa parcial, que las familias de relaciones que son definibles por la lógica IF son exactamente aquellas que no están vacías, cerradas hacia abajo y definibles en relacional con un predicado extra (o, de manera equivalente, no vacío y definible por un oración en la que ocurre solo negativamente).
Lógica IF extendida
SI la lógica no está cerrada bajo la negación clásica. El cierre booleano de la lógica IF se conoce como lógica IF extendida y es equivalente a un fragmento adecuado de(Figueira et al. 2011). Hintikka (1996, p. 196) afirmó que "virtualmente todas las matemáticas clásicas pueden, en principio, hacerse en lógica de primer orden IF extendida".
Propiedades y crítica
Varias propiedades de la lógica SI se derivan de la equivalencia lógica con y acercarlo a la lógica de primer orden, incluido un teorema de compacidad , un teorema de Löwenheim-Skolem y un teorema de interpolación de Craig . (Väänänen, 2007, pág. 86). Sin embargo, Väänänen (2001) demostró que el conjunto de números de Gödel de oraciones válidas de lógica IF con al menos un símbolo de predicado binario (conjunto denotado por Val IF ) es recursivamente isomorfo con el conjunto correspondiente de números de Gödel de segundos válidos (completos). ordenar oraciones en un vocabulario que contiene un símbolo de predicado binario (conjunto denotado por Val 2 ). Además, Väänänen mostró que Val 2 es el conjunto completo de enteros definibles por Π 2 , y que Val 2 no está enpara cualquier finito m y n . Väänänen (2007, págs. 136-139) resume los resultados de complejidad de la siguiente manera:
Problema | lógica de primer orden | IF / dependencia / lógica ESO |
---|---|---|
Decisión | ( re ) | |
No validez | ( co-re ) | |
Consistencia | ||
Inconsecuencia |
Feferman (2006) cita el resultado de 2001 de Väänänen para argumentar (contra Hintikka) que si bien la satisfacibilidad podría ser una cuestión de primer orden, la cuestión de si existe una estrategia ganadora para Verifier sobre todas las estructuras en general "nos lleva directamente a la lógica de segundo orden "(énfasis de Feferman). Feferman también atacó la supuesta utilidad de la lógica IF extendida, porque las oraciones en no admite una interpretación de la teoría de juegos.
Ver también
- Semántica del juego
- Cuantificadores de ramificación
- Lógica de dependencia
Notas
- ^ Hintikka y Sandu1989
- ^ Cameron y Hodges 2001
- ^ Hodges 1997
- ^ Figueira, Gorin y Grimson 2011
- ^ por ejemplo, en Hintikka 1996
- ^ por ejemplo, Feferman2006
- ^ Mann, Sandu y Sevenster 2011
- ^ Hintikka y Sandu 1989
- ^ Sandu 1993
- ^ Hodges 1997
- ^ Hodges 1997b
- ^ La notaion se utiliza para denotar una asignación que asigna a , y todas las demás variables al mismo elemento que lo hace.
- ^ Walkoe 1970
- ^ Enderton 1970
- ^ Burgess 2003
- ^ Sandu 1998
- ^ Väänänen 2007
- ^ Hodges 1997b
- ^ Kontinen y Väänänen 2009
Referencias
- Burgess, John P., " Un comentario sobre las sentencias de Henkin y sus contrarios ", Notre Dame Journal of Formal Logic 44 (3): 185-188 (2003).
- Cameron, Peter y Hodges, Wilfrid (2001), " Algunas combinatorias de información imperfecta ". Journal of Symbolic Logic 66: 673-684.
- Eklund, Matti y Kolak, Daniel, " Is Hintikka's Logic First Order? " Synthese , 131 (3): 371-388 de junio de 2002, [1] .
- Enderton, Herbert B., " Cuantificadores finitos parcialmente ordenados ", Mathematical Logic Quarterly Volumen 16, Número 8 1970 Páginas 393–397.
- Feferman, Solomon , "¿Qué tipo de lógica es la lógica“ Independence Friendly ”?", En The Philosophy of Jaakko Hintikka (Randall E. Auxier y Lewis Edwin Hahn, eds.); Biblioteca de filósofos vivientes vol. 30, Open Court (2006), 453-469, http://math.stanford.edu/~feferman/papers/hintikka_iia.pdf .
- Figueira, Santiago, Gorín, Daniel y Grimson, Rafael "Sobre el poder expresivo de la lógica IF con negación clásica", Actas WoLLIC 2011, pp. 135-145, ISBN 978-3-642-20919-2 , [2] .
- Hintikka, Jaakko (1996), "Los principios de las matemáticas revisados", Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-62498-5 .
- Hintikka, Jaakko, "Lógica hiperclásica (también conocida como lógica IF) y sus implicaciones para la teoría lógica", Boletín de lógica simbólica 8, 2002, 404-423 http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/0803/0803 -004.ps.
- Hintikka, Jaakko y Gabriel Sandu (1989), "La independencia informativa como fenómeno semántico", en Logic, Methodology and Philosophy of Science VIII (JE Fenstad, et al., Eds.), North-Holland, Amsterdam, doi : 10.1016 / S0049-237X (08) 70066-1 .
- Hintikka, Jaakko y Sandu, Gabriel, " Semántica teórica de juegos ", en Manual de lógica y lenguaje , ed. J. van Benthem y A. ter Meulen, Elsevier 1996 (1ª ed.) Actualizado en la 2ª segunda edición del libro (2011).
- Hodges, Wilfrid (1997), " Semántica composicional para un lenguaje de información imperfecta ". Revista de la IGPL 5: 539–563.
- Hodges, Wilfrid, "Some Strange Quantifiers", en Lecture Notes in Computer Science 1261: 51-65, enero de 1997.
- Janssen, Theo MV, "Elecciones independientes e interpretación de la lógica IF". Journal of Logic, Language and Information , volumen 11, número 3, verano de 2002, págs. 367-387 doi : 10.1023 / A: 1015542413718 [3] .
- Kolak, Daniel, Sobre Hintikka , Belmont: Wadsworth 2001 ISBN 0-534-58389-X .
- Kolak, Daniel y Symons, John, "Los resultados están en: El alcance y la importancia de la filosofía de Hintikka" en Daniel Kolak y John Symons , eds., Quantifiers, Questions, and Quantum Physics. Ensayos sobre la filosofía de Jaakko Hintikka , Springer 2004, págs.205-268 ISBN 1-4020-3210-2 , doi : 10.1007 / 978-1-4020-32110-0_11 .
- Kontinen, Juha y Väänänen, Jouko, "Sobre la definibilidad en la lógica de la dependencia" (2009), Journal of Logic, Language and Information 18 (3), 317-332.
- Mann, Allen L., Sandu, Gabriel y Sevenster, Merlijn (2011) Lógica favorable a la independencia. Un enfoque de teoría de juegos , Cambridge University Press, ISBN 0521149347 .
- Sandu, Gabriel, " If-Logic and Truth-definition ", Journal of Philosophical Logic, abril de 1998, volumen 27, número 2, págs. 143-164.
- Sandu, Gabriel, " Sobre la lógica de la independencia informativa y sus aplicaciones ", Journal of Philosophical Logic Vol. 22, núm. 1 (febrero de 1993), págs. 29-60.
- Väänänen, Jouko , 2007, 'Dependence Logic - A New Approach to Independence Friendly Logic]', Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-87659-9 , [4] .
- Walkoe, Wilbur John Jr., " Cuantificación finita parcialmente ordenada ", The Journal of Symbolic Logic Vol. 35, núm. 4 (diciembre de 1970), págs. 535-555.
enlaces externos
- Tero Tulenheimo, 2009. ' Lógica amigable con la independencia '. Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
- Wilfrid Hodges , 2009. ' Lógica y juegos '. Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
- SI lógica en Planet Math