En geometría triangular , una circuncónica es una sección cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, [1] y una incónica es una sección cónica inscrita en los lados, posiblemente extendidos , de un triángulo. [2]
Supongamos que A, B, C son distintos puntos no colineales, y permiten ΔABC denotan el triángulo cuyos vértices son A, B, C . Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice sino también el ángulo BAC en el vértice A , y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC . Sea a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |, las longitudes laterales de Δ ABC .
En coordenadas trilineales , la circuncónica general es el lugar geométrico de un punto variable X = x : y : z que satisface una ecuación
- uyz + vzx + wxy = 0,
para algún punto u: v: w . El conjugado isogonal de cada punto X en la circuncónica, que no sea A, B, C , es un punto en la línea.
- ux + vy + wz = 0.
Esta línea se encuentra con el círculo circunferencial de ΔABC en 0,1, o 2 puntos según que el circuncónico sea una elipse, parábola o hipérbola.
El incónico general es tangente a las tres líneas laterales de ΔABC y viene dado por la ecuación
- u 2 x 2 + v 2 y 2 + w 2 z 2 - 2 vwyz - 2 wuzx - 2 uvxy = 0.
Centros y rectas tangentes
Circuncónico
El centro de la circuncónica general es el punto
- u (- au + bv + cw ): v ( au - bv + cw ): w ( au + bv - cw ).
Las rectas tangentes a la circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,
- wv + vz = 0,
- uz + wx = 0,
- vx + uy = 0.
Incónico
El centro del incónico general es el punto
- cv + bw : aw + cu : bu + av .
Las rectas tangentes al incónico general son las líneas laterales de ΔABC , dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.
Otras características
Circuncónico
- Cada circuncónico no circular se encuentra con el círculo circunferencial de ΔABC en un punto que no sea A, B y C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección , dado por coordenadas trilineales
- ( cx - az ) ( ay - bx ): ( ay - bx ) ( bz - cy ): ( bz - cy ) ( cx - az )
- Si P = p: q: r es un punto en la circuncónica general, entonces la recta tangente a la cónica en P está dada por
- ( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.
- La circuncónica general se reduce a una parábola si y sólo si
- u 2 a 2 + v 2 b 2 + w 2 c 2 - 2 vwbc - 2 wuca - 2 uvab = 0,
- y a una hipérbola rectangular si y solo si
- u cos A + v cos B + w cos C = 0.
- De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene mayor área coincide con el centro de la elipse. [3] : p.147 La elipse dada, que atraviesa los tres vértices de este triángulo y está centrada en el centroide del triángulo, se denomina circumellipse de Steiner del triángulo .
Incónico
- La incónica general se reduce a una parábola si y sólo si
- ubc + vca + wab = 0,
- en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a las extensiones de los otros dos lados .
- Suponga que p 1 : q 1 : r 1 y p 2 : q 2 : r 2 son puntos distintos, y sean
- X = ( p 1 + p 2 t ): ( q 1 + q 2 t ): ( r 1 + r 2 t ).
- Como el parámetro t varía entre los números reales , el lugar geométrico de X es una línea. Definir
- X 2 = ( p 1 + p 2 t ) 2 : ( q 1 + q 2 t ) 2 : ( r 1 + r 2 t ) 2 .
- El lugar geométrico de X 2 es el incónico, necesariamente una elipse , dado por la ecuación
- L 4 x 2 + M 4 y 2 + N 4 z 2 - 2 M 2 N 2 yz - 2 N 2 L 2 zx - 2 L 2 M 2 xy = 0,
- dónde
- L = q 1 r 2 - r 1 q 2 ,
- M = r 1 p 2 - p 1 r 2 ,
- N = p 1 q 2 - q 1 p 2 .
- Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original. [3] : p.139 Para un punto dado dentro de ese triángulo medial , la inelipse con su centro en ese punto es única. [3] : pág.142
- La inelipse con el área más grande es la inellipse de Steiner , también llamada inellipse del punto medio, con su centro en el centroide del triángulo . [3] : p.145 En general, la relación entre el área del inelipse y el área del triángulo, en términos de coordenadas baricéntricas de suma unitaria del centro de la inelipse, es [3] : p.143
- que se maximiza por las coordenadas baricéntricas del centroide
- Las rectas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes. [3] : pág.148
Extensión a cuadriláteros
Todos los centros de inelipsis de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero. [3] : pág.136
Ejemplos de
- Circuncónicas
- Circumcircle , el círculo único que pasa a través de los tres vértices de un triángulo.
- Steiner circumellipse , la elipse única que pasa a través de los tres vértices de un triángulo y está centrada en el centroide del triángulo.
- Hipérbola de Kiepert , la cónica única que pasa a través de los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro.
- Hipérbola de Jeřábek , una hipérbola rectangular centrada en el círculo de nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como su circuncentro , ortocentro y varios otros centros notables.
- Hipérbola de Feuerbach , una hipérbola rectangular que pasa a través del ortocentro de un triángulo, el punto Nagel y varios otros puntos notables, y tiene el centro en el círculo de nueve puntos.
- Incónicos
- Incircle , el círculo único que es internamente tangente a los tres lados de un triángulo
- Steiner inellipse , la elipse única que es tangente a los tres lados de un triángulo en sus puntos medios
- Mandart inellipse , la elipse única tangente a los lados de un triángulo en los puntos de contacto de sus excircles
- Parábola de Kiepert
- Parábola de Yff
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Circumconic". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Inconic". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.html
- ^ a b c d e f g Chakerian, GD "Una vista distorsionada de la geometría". Ch. 7 en Ciruelas matemáticas (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979.
enlaces externos
- Circumconic en MathWorld
- Inconic en MathWorld