División larga

Algoritmo de división estándar para números de varios dígitos

Este artículo trata sobre la división manuscrita elemental. Para obtener definiciones y propiedades matemáticas, consulte División (matemáticas) y División euclidiana . Para los algoritmos de software, consulte Algoritmo de división . Para otros usos, consulte División larga (desambiguación) .

En aritmética , la división larga es un algoritmo de división estándar adecuado para dividir números de varios dígitos que es lo suficientemente simple como para realizarlo a mano. Descompone un problema de división en una serie de pasos más sencillos.

Como en todos los problemas de división, un número, llamado dividendo , se divide por otro, llamado divisor , produciendo un resultado llamado cociente . Permite realizar cálculos que involucran números arbitrariamente grandes siguiendo una serie de pasos simples. ^[1] La forma abreviada de división larga se llama división corta , que casi siempre se usa en lugar de división larga cuando el divisor tiene solo un dígito. Chunking (también conocido como método de cocientes parciales o método del ahorcado) es una forma menos mecánica de división larga prominente en el Reino Unido que contribuye a una comprensión más holística del proceso de división. ^[2]

Mientras que los algoritmos relacionados han existido desde el siglo XII dC, ^[3] el algoritmo específico en el uso moderno fue introducido por Henry Briggs c. 1600 d.C. ^[4]

Lugar en educación

Las calculadoras y computadoras de bajo costo se han convertido en la forma más común de resolver problemas de división, eliminando un ejercicio matemático tradicional y disminuyendo la oportunidad educativa de mostrar cómo hacerlo con técnicas de papel y lápiz. (Internamente, esos dispositivos usan uno de una variedad de algoritmos de división , los más rápidos entre los cuales se basan en aproximaciones y multiplicaciones para lograr las tareas). En los Estados Unidos, la división larga se ha centrado especialmente en quitar énfasis, o incluso eliminar del plan de estudios escolar, mediante la reforma de las matemáticas , aunque tradicionalmente se introdujo en el cuarto o quinto grado. ^[5]

Método

En los países de habla inglesa, la división larga no utiliza los símbolos de la barra inclinada de división ⟨ ∕ sign o el signo de división ⟨÷⟩, sino que construye un cuadro . ^[6] El divisor está separado del dividendo por un paréntesis derecho ⟨ ) ⟩ o una barra vertical ⟨ | ⟩; el dividendo está separado del cociente por un vinculum (es decir, una barra superior ). La combinación de estos dos símbolos a veces se conoce como símbolo de división larga o corchete de división . ^[7]Se desarrolló en el siglo XVIII a partir de una notación de una sola línea anterior que separaba el dividendo del cociente por un paréntesis izquierdo . ^{[8] [9]}

El proceso comienza dividiendo el dígito más a la izquierda del dividendo por el divisor. El cociente (redondeado a un número entero) se convierte en el primer dígito del resultado y se calcula el resto (este paso se anota como una resta). Este resto se transfiere cuando el proceso se repite en el siguiente dígito del dividendo (anotado como "reducir" el siguiente dígito al resto). Cuando se han procesado todos los dígitos y no queda ningún resto, el proceso está completo.

A continuación se muestra un ejemplo que representa la división de 500 por 4 (con un resultado de 125).

  1 2 5 (Explicaciones) 4) 500 4 (4 × 1 = 4) 1 0 (5 - 4 = 1 ) 8 (4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 (4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

Un ejemplo de división larga realizada sin calculadora.

Un desglose más detallado de los pasos es el siguiente:

1. Encuentre la secuencia más corta de dígitos comenzando desde el extremo izquierdo del dividendo, 500, en la que el divisor 4 entra al menos una vez. En este caso, es simplemente el primer dígito, 5. El número más grande por el que se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder el 5 es 1, por lo que el dígito 1 se coloca por encima del 5 para comenzar a construir el cociente.
2. A continuación, se multiplica el 1 por el divisor 4, para obtener el mayor número entero que sea múltiplo del divisor 4 sin exceder el 5 (4 en este caso). Este 4 se coloca debajo y se resta del 5 para obtener el resto, 1, que se coloca debajo del 4 debajo del 5.
3. Posteriormente, el primer dígito del dividendo aún no utilizado, en este caso el primer dígito 0 después del 5, se copia directamente debajo de sí mismo y junto al resto 1, para formar el número 10.
4. En este punto, el proceso se repite suficientes veces para llegar a un punto de parada: el número más grande por el que se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 10 es 2, por lo que 2 se escribe arriba como el segundo dígito del cociente más a la izquierda. Luego, este 2 se multiplica por el divisor 4 para obtener 8, que es el mayor múltiplo de 4 que no excede 10; por lo que 8 se escribe debajo de 10, y la resta 10 menos 8 se realiza para obtener el resto 2, que se coloca debajo del 8.
5. El siguiente dígito del dividendo (el último 0 en 500) se copia directamente debajo de sí mismo y junto al resto 2 para formar 20. Luego, se coloca el número más grande por el cual el divisor 4 se puede multiplicar sin exceder 20, que es 5. arriba como el tercer dígito del cociente más a la izquierda. Este 5 se multiplica por el divisor 4 para obtener 20, que se escribe a continuación y se resta del 20 existente para obtener el resto 0, que luego se escribe debajo del segundo 20.
6. En este punto, dado que no hay más dígitos para reducir del dividendo y el resultado de la última resta fue 0, podemos estar seguros de que el proceso finalizó.

Si el último resto cuando nos quedamos sin dígitos de dividendos hubiera sido algo distinto de 0, habría dos posibles cursos de acción:

1. Podríamos simplemente detenernos allí y decir que el dividendo dividido por el divisor es el cociente escrito en la parte superior con el resto escrito en la parte inferior, y escribir la respuesta como el cociente seguido de una fracción que es el resto dividido por el divisor.
2. Podríamos extender el dividendo escribiéndolo como, digamos, 500.000 ... y continuar el proceso (usando un punto decimal en el cociente directamente arriba del punto decimal en el dividendo), para obtener una respuesta decimal, como se muestra a continuación. ejemplo.

  31,75  4) 127,00 12 (12 ÷ 4 = 3) 07 (0 resto , bajar la siguiente figura) 4 (7 ÷ 4 = 1 r 3)  3.0 (bajar 0 y el punto decimal) 2.8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) 20 (se baja un cero adicional) 20 (5 × 4 = 20) 0

En este ejemplo, la parte decimal del resultado se calcula continuando el proceso más allá del dígito de las unidades, "reduciendo" los ceros como parte decimal del dividendo.

Este ejemplo también ilustra que, al comienzo del proceso, se puede omitir un paso que produce un cero. Dado que el primer dígito 1 es menor que el divisor 4, el primer paso se realiza en cambio en los dos primeros dígitos 12. De manera similar, si el divisor fuera 13, se realizaría el primer paso en 127 en lugar de 12 o 1.

Procedimiento básico para la división larga de n ÷ m

1. Encuentra la ubicación de todos los puntos decimales en el dividendo n y el divisor m .
2. Si es necesario, simplifique el problema de la división larga moviendo los decimales del divisor y el dividendo por el mismo número de lugares decimales, hacia la derecha (o hacia la izquierda), de modo que el decimal del divisor esté a la derecha del último dígito. .
3. Al hacer una división larga, mantenga los números alineados de arriba hacia abajo debajo del cuadro.
4. Después de cada paso, asegúrese de que el resto de ese paso sea menor que el divisor. Si no es así, hay tres problemas posibles: la multiplicación es incorrecta, la resta es incorrecta o se necesita un cociente mayor.
5. Al final, el resto, r , se suma al cociente creciente como una fracción ,  r / m .

Propiedad invariable y corrección

La presentación básica de los pasos del proceso de enfoque (más arriba) en los qué pasos se han de realizar, en lugar de las propiedades de esos pasos que aseguran el resultado será correcta (en concreto, que q × m + r = n , donde q es el cociente final y r el resto final). Una ligera variación de la presentación requiere más escritura y requiere que cambiemos, en lugar de simplemente actualizar, los dígitos del cociente, pero puede arrojar más luz sobre por qué estos pasos en realidad producen la respuesta correcta al permitir la evaluación de q × m + r en el nivel intermedio. puntos en el proceso. Esto ilustra la propiedad clave utilizada en la derivación del algoritmo (abajo).

Específicamente, modificamos el procedimiento básico anterior para llenar el espacio después de los dígitos del cociente en construcción con ceros, al menos hasta el lugar de los 1, e incluir esos ceros en los números que escribimos debajo del paréntesis de división.

Esto nos permite mantener una relación invariante en cada paso: q × m + r = n , donde q es el cociente parcialmente construido (por encima del paréntesis de división) yr el resto parcialmente construido (número inferior debajo del paréntesis de división). Tenga en cuenta que, inicialmente q = 0 y r = n , por lo que esta propiedad se mantiene inicialmente; el proceso reduce ry aumenta q con cada paso, y finalmente se detiene cuando r <m si buscamos la respuesta en forma de cociente + resto entero.

Revisando el ejemplo de 500 ÷ 4 anterior, encontramos

  1 2 5 ( q , cambia de 000 a 100 a 1 20 a 1 2 5 como se indica a continuación) 4) 500 400 (4 × 100 = 400) 100 (500 - 400 = 100 ; ahora q = 100 , r = 100 ; observe q × 4 + r = 500. ) 80 (4 × 20 = 80) 20 (100 - 80 = 20 ; ahora q = 1 20 , r = 20 ; note q × 4 + r = 500. ) 20 (4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0; ahora q = 1 2 5 , r = 0 ; note q × 4 + r = 500. )

Ejemplo con divisor de varios dígitos

Ejemplo animado de división larga de varios dígitos

Se puede utilizar un divisor de cualquier número de dígitos. En este ejemplo, 1260257 se dividirá entre 37. Primero, el problema se configura de la siguiente manera:

   37) 1260257

Los dígitos del número 1260257 se toman hasta que aparece un número mayor o igual a 37. Entonces 1 y 12 son menores que 37, pero 126 es mayor. A continuación, se calcula el mayor múltiplo de 37 menor o igual que 126. Entonces 3 × 37 = 111 <126, pero 4 × 37> 126. El múltiplo 111 está escrito debajo del 126 y el 3 está escrito en la parte superior donde aparecerá la solución:

  3  37) 1260257 111

Observe cuidadosamente en qué columna de valor posicional están escritos estos dígitos. El 3 en el cociente va en la misma columna (lugar de diez mil) que el 6 en el dividendo 1260257, que es la misma columna que el último dígito de 111.

Luego, se resta el 111 de la línea anterior, ignorando todos los dígitos de la derecha:

  3  37) 1260257 111 15

Ahora, el dígito del siguiente valor posicional más pequeño del dividendo se copia y se agrega al resultado 15:

  3  37) 1260257 111 150

El proceso se repite: se resta el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 150. Esto es 148 = 4 × 37, por lo que se agrega un 4 en la parte superior como el siguiente dígito del cociente. Luego, el resultado de la resta se amplía con otro dígito tomado del dividendo:

  34  37) 1260257 111 150 148 22

El mayor múltiplo de 37 menor o igual que 22 es 0 × 37 = 0. Restar 0 de 22 da 22, a menudo no escribimos el paso de resta. En cambio, simplemente tomamos otro dígito del dividendo:

  340  37) 1260257 111 150 148 225

El proceso se repite hasta que 37 divide la última línea exactamente:

  34061 37) 1260257 111 150 148 225 222 37

División larga en modo mixto

Para monedas no decimales (como el sistema de libras esterlinas británicas antes de 1971) y medidas (como avoirdupois ) , se debe utilizar la división en modo mixto . Considere dividir 50 millas 600 yardas en 37 partes:

 mi - yarda - pie - pulg  1 - 634 1 9 r. 15" 37) 50 - 600 - 0 - 0 37  22880  66  348 13 23480 66 348 1760  222  37  333 22 880 128 29 15 ===== 111 348 == 170 === 148  22 66 ==

Cada una de las cuatro columnas se trabaja a su vez. Comenzando con las millas: 50/37 = 1 resto 13. No es posible realizar más divisiones, así que realice una multiplicación larga por 1,760 para convertir millas en yardas, el resultado es 22,880 yardas. Lleve esto a la parte superior de la columna de yardas y agréguelo a las 600 yardas en el dividendo que da 23,480. La división larga de 23,480 / 37 ahora procede de forma normal, lo que da como resultado 634 con el resto 22. El resto se multiplica por 3 para obtener pies y se lleva hasta la columna de pies. La división larga de los pies da 1 resto 29 que luego se multiplica por doce para obtener 348 pulgadas. La división larga continúa con el resto final de 15 pulgadas que se muestra en la línea de resultados.

Interpretación de resultados decimales

Cuando el cociente no es un número entero y el proceso de división se extiende más allá del punto decimal, puede suceder una de dos cosas:

1. El proceso puede terminar, lo que significa que se alcanza un resto de 0; o
2. Se podría alcanzar un resto que sea idéntico a un resto anterior que ocurrió después de que se escribieron los puntos decimales. En este último caso, no tendría sentido continuar el proceso, ya que a partir de ese momento la misma secuencia de dígitos aparecería en el cociente una y otra vez. Por lo tanto, se dibuja una barra sobre la secuencia repetida para indicar que se repite para siempre (es decir, cada número racional es un decimal final o repetitivo ).

Notación en países de habla no inglesa

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China, Japón y Corea usan la misma notación que las naciones de habla inglesa, incluida la India. En otros lugares, se utilizan los mismos principios generales, pero las figuras a menudo se organizan de manera diferente.

América Latina

En América Latina (excepto Argentina , Bolivia , México , Colombia , Paraguay , Venezuela , Uruguay y Brasil ), el cálculo es casi exactamente el mismo, pero se escribe de manera diferente como se muestra a continuación con los mismos dos ejemplos utilizados anteriormente. Por lo general, el cociente se escribe debajo de una barra dibujada debajo del divisor. A veces se dibuja una línea vertical larga a la derecha de los cálculos.

 500 ÷ 4 = 1 2 5 (Explicaciones) 4 (4 × 1 = 4) 1 0 (5 - 4 = 1 ) 8 (4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 (4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

y

 127 ÷ 4 = 31,75 124  30 (bajar 0; decimal al cociente) 28 (7 × 4 = 28) 20 (se agrega un cero adicional) 20 (5 × 4 = 20) 0

En México , se usa la notación del mundo de habla inglesa, excepto que solo se anota el resultado de la resta y el cálculo se hace mentalmente, como se muestra a continuación:

  1 2 5 (Explicaciones) 4) 500 1 0 (5 - 4 = 1 ) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 0 (20 - 20 = 0)

En Bolivia , Brasil , Paraguay , Venezuela , Canadá , Colombia y Perú , se utiliza la notación europea (ver más abajo), excepto que el cociente no está separado por una línea vertical, como se muestra a continuación:

 127 | 4  - 124 31,75 30 - 28 20 - 20 0

El mismo procedimiento aplica en México , Uruguay y Argentina , solo se anota el resultado de la resta y el cálculo se hace mentalmente.

Eurasia

En España, Italia, Francia, Portugal, Lituania, Rumania, Turquía, Grecia, Bélgica, Bielorrusia, Ucrania y Rusia, el divisor está a la derecha del dividendo y separado por una barra vertical. La división también ocurre en la columna, pero el cociente (resultado) se escribe debajo del divisor y separado por la línea horizontal. El mismo método se utiliza en Irán y Mongolia.

 127 | 4  - 124 | 31,75 30 - 28 20 - 20 0

En Chipre, así como en Francia, una barra vertical larga separa el dividendo y las substracciones subsiguientes del cociente y el divisor, como en el siguiente ejemplo de 6359 dividido por 17, que es 374 con un resto de 1.

6	3	5	9	17
- 5	1			374
1	2	5
- 1	1	9
		6	9
	-	6	8
			1

Los números decimales no se dividen directamente, el dividendo y el divisor se multiplican por una potencia de diez, por lo que la división implica dos números enteros. Por lo tanto, si uno estuviera dividiendo 12,7 por 0,4 (se usarían comas en lugar de puntos decimales), el dividendo y el divisor primero se cambiarían a 127 y 4, y luego la división procedería como se indicó anteriormente.

En Austria , Alemania y Suiza se utiliza la forma de notación de una ecuación normal. <dividendo>: <divisor> = <cociente>, con los dos puntos ":" que denota un símbolo infijo binario para el operador de división (análogo a "/" o "÷"). En estas regiones, el separador decimal se escribe como una coma. (cf. primera sección de países latinoamericanos arriba, donde se hace prácticamente de la misma manera):

 127: 4 = 31,75 - 12 07 - 4 30 - 28 20 - 20 0

La misma notación se adopta en Dinamarca , Noruega , Bulgaria , Macedonia del Norte , Polonia , Croacia , Eslovenia , Hungría , República Checa , Eslovaquia , Vietnam y Serbia .

En los Países Bajos , se utiliza la siguiente notación:

 12/135 \ 11,25 12 15 12 30 24 60 60 0

Algoritmo para base arbitraria

Ver también: Algoritmo de división § División larga

Cada número natural se puede representar de forma única en una base numérica arbitraria como una secuencia de dígitos donde para todos , donde está el número de dígitos en . El valor de en términos de sus dígitos y la base es${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n=\alpha _{0}\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha _{k-1}}$${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}<b}$${\displaystyle 0\leq i<k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}\alpha _{i}b^{k-i-1}}$

Sea el dividendo y el divisor, donde está el número de dígitos en . Si , entonces y . De lo contrario, iteramos desde , antes de detenernos.${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k<l}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle r=n}$${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$

Para cada iteración , sea ​​el cociente extraído hasta ahora, sea ​​el dividendo intermedio, sea ​​el resto intermedio, sea ​​el siguiente dígito del dividendo original y sea ​​el siguiente dígito del cociente. Por definición de dígitos en la base , . Por definición del resto, . Todos los valores son números naturales. Iniciamos ${\displaystyle i}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle q_{-1}=0}$

${\displaystyle r_{-1}=\sum _{i=0}^{l-2}\alpha _{i}b^{l-2-i}}$

los primeros dígitos de .${\displaystyle l-1}$${\displaystyle n}$

Con cada iteración, las tres ecuaciones son verdaderas:

${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}}$

${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$

Solo existe uno tal que .${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

Prueba de existencia y singularidad de${\displaystyle \beta _{i}}$  :

Según la definición del resto ,${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}<m}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}+1)}$

Para el lado izquierdo de la desigualdad, seleccionamos el más grande tal que${\displaystyle \beta _{i}}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

Siempre hay un tal más grande , porque y si , entonces${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$${\displaystyle \beta _{i}=0}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

sino porque , , , esto es siempre cierto. Para el lado derecho de la desigualdad asumimos que existe un mínimo tal que${\displaystyle b>1}$${\displaystyle r_{i-1}\geq 0}$${\displaystyle \alpha _{i+l-1}\geq 0}$${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}^{\prime }+1)}$

Dado que este es el menor valor de la desigualdad, esto debe significar que para${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }-1}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}\geq m\beta _{i}^{\prime }}$

que es exactamente igual que el lado izquierdo de la desigualdad. Por lo tanto, . Como siempre existirá, también será igual a , y solo hay una única que es válida para la desigualdad. Así hemos probado la existencia y singularidad de .${\displaystyle \beta _{i}=\beta _{i}^{\prime }}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$

El cociente final es y el resto final es${\displaystyle q=q_{k-l}}$${\displaystyle r=r_{k-l}}$

Ejemplos

En base 10 , usando el ejemplo anterior con y , los valores iniciales y .${\displaystyle n=1260257}$${\displaystyle m=37}$${\displaystyle q_{-1}=0}$${\displaystyle r_{-1}=1}$

${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$	${\displaystyle \alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle \beta _{i}}$	${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}}$	${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$
0	2	${\displaystyle 10\cdot 1+2=12}$	0	${\displaystyle 12-37\cdot 0=12}$	${\displaystyle 10\cdot 0+0=0}$
1	6	${\displaystyle 10\cdot 12+6=126}$	3	${\displaystyle 126-37\cdot 3=15}$	${\displaystyle 10\cdot 0+3=3}$
2	0	${\displaystyle 10\cdot 15+0=150}$	4	${\displaystyle 150-37\cdot 4=2}$	${\displaystyle 10\cdot 3+4=34}$
3	2	${\displaystyle 10\cdot 2+2=22}$	0	${\displaystyle 22-37\cdot 0=22}$	${\displaystyle 10\cdot 34+0=340}$
4	5	${\displaystyle 10\cdot 22+5=225}$	6	${\displaystyle 225-37\cdot 6=3}$	${\displaystyle 10\cdot 340+6=3406}$
5	7	${\displaystyle 10\cdot 3+7=37}$	1	${\displaystyle 37-37\cdot 1=0}$	${\displaystyle 10\cdot 3406+1=34061}$

Así, y .${\displaystyle q=34061}$${\displaystyle r=0}$

En base 16 , con y , los valores iniciales son y .${\displaystyle n={\text{f412df}}}$${\displaystyle m=12}$${\displaystyle q_{-1}=0}$${\displaystyle r_{-1}={\text{f}}}$

${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$	${\displaystyle \alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle \beta _{i}}$	${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}}$	${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$
0	4	${\displaystyle 10\cdot {\text{f}}+4={\text{f4}}}$	${\displaystyle {\text{d}}}$	${\displaystyle {\text{f4}}-12\cdot {\text{d}}={\text{a}}}$	${\displaystyle 10\cdot 0+{\text{d}}={\text{d}}}$
1	1	${\displaystyle 10\cdot {\text{a}}+1={\text{a1}}}$	8	${\displaystyle {\text{a1}}-12\cdot 8=11}$	${\displaystyle 10\cdot {\text{d}}+8={\text{d8}}}$
2	2	${\displaystyle 10\cdot 11+2=112}$	${\displaystyle {\text{f}}}$	${\displaystyle 112-12\cdot {\text{f}}=4}$	${\displaystyle 10\cdot {\text{d8}}+{\text{f}}={\text{d8f}}}$
3	${\displaystyle {\text{d}}=13}$	${\displaystyle 10\cdot 4+{\text{d}}={\text{4d}}}$	4	${\displaystyle {\text{4d}}-12\cdot 4=5}$	${\displaystyle 10\cdot {\text{d8f}}+4={\text{d8f4}}}$
4	${\displaystyle {\text{f}}=15}$	${\displaystyle 10\cdot 5+{\text{f}}={\text{5f}}}$	5	${\displaystyle {\text{5f}}-12\cdot 5=5}$	${\displaystyle 10\cdot {\text{d8f4}}+5={\text{d8f45}}}$

Así, y .${\displaystyle q={\text{d8f45}}}$${\displaystyle r={\text{5}}}$

Si uno no tiene memorizadas las tablas de suma , resta o multiplicación para la base b , entonces este algoritmo aún funciona si los números se convierten a decimales y al final se vuelven a convertir a la base b . Por ejemplo, con el ejemplo anterior,

${\displaystyle n={\text{f412df}}_{16}=15\cdot 16^{5}+4\cdot 16^{4}+1\cdot 16^{3}+2\cdot 16^{2}+13\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}}$

y

${\displaystyle m={\text{12}}_{16}=1\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}=18}$

con . Los valores iniciales son y .${\displaystyle b=16}$${\displaystyle q_{-1}=0}$${\displaystyle r_{-1}=15}$

${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$	${\displaystyle \alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle \beta _{i}}$	${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}}$	${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$
0	4	${\displaystyle 16\cdot 15+4=244}$	${\displaystyle 13={\text{d}}}$	${\displaystyle 244-18\cdot 13=10}$	${\displaystyle 16\cdot 0+13=13}$
1	1	${\displaystyle 16\cdot 10+1=161}$	8	${\displaystyle 161-18\cdot 8=17}$	${\displaystyle 16\cdot 13+8}$
2	2	${\displaystyle 16\cdot 17+2=274}$	${\displaystyle 15={\text{f}}}$	${\displaystyle 274-18\cdot 15=4}$	${\displaystyle 16\cdot (16\cdot 13+8)+15=16^{2}\cdot 13+16\cdot 8+15}$
3	${\displaystyle {\text{d}}=13}$	${\displaystyle 16\cdot 4+13=77}$	4	${\displaystyle 77-18\cdot 4=5}$	${\displaystyle 16\cdot (16^{2}\cdot 13+16\cdot 8+15)+4=16^{3}\cdot 13+16^{2}\cdot 8+16\cdot 15+4}$
4	${\displaystyle {\text{f}}=15}$	${\displaystyle 16\cdot 5+15=95}$	5	${\displaystyle 95-18\cdot 5=5}$	${\displaystyle 16\cdot (16^{3}\cdot 13+16^{2}\cdot 8+16\cdot 15+4=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5}$

Así, y .${\displaystyle q=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5={\text{d8f45}}_{16}}$${\displaystyle r=5={\text{5}}_{16}}$

Este algoritmo se puede realizar utilizando el mismo tipo de anotaciones de lápiz y papel que se muestran en las secciones anteriores.

  d8f45 r. 5 12) f412df ea a1 90 112 10e 4d 48 5f 5a 5

Cocientes racionales

Si el cociente no está limitado a ser un número entero, entonces el algoritmo no termina por . En cambio, si entonces por definición. Si el resto es igual a cero en cualquier iteración, entonces el cociente es una fracción -ádica y se representa como una expansión decimal finita en notación posicional base . De lo contrario, sigue siendo un número racional pero no un racional -ádico, y en su lugar se representa como una expansión decimal repetida infinita en notación posicional básica .${\displaystyle i>k-l}$${\displaystyle i>k-l}$${\displaystyle \alpha _{i}=0}$${\displaystyle r_{i}}$ b {\displaystyle b} ${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

División binaria

Ver también: Algoritmo de división § División de enteros (sin signo) con resto y Número binario § División

El cálculo dentro del sistema numérico binario es más simple, porque cada dígito en el curso solo puede ser 1 o 0; no se necesita multiplicación ya que la multiplicación por da como resultado el mismo número o cero .

Si esto estuviera en una computadora, la multiplicación por 10 se puede representar mediante un desplazamiento de bits de 1 a la izquierda, y la búsqueda se reduce a la operación lógica , donde verdadero = 1 y falso = 0. Con cada iteración , se realizan las siguientes operaciones :${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle d_{i}\geq m}$${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{i+l-1}\ &{\mathtt {=}}\ n\ {\mathtt {\&}}\ (1\ {\mathtt {<<}}\ (k+1-i-l))\\d_{i}\ &{\mathtt {=}}\ r_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\alpha _{i+l-1}\\\beta _{i}\ &{\mathtt {=}}\ {\mathtt {!}}(d_{i}<m)\\r_{i}\ &{\mathtt {=}}\ d_{i}-m\ {\mathtt {\&}}\ \beta _{I}\\q_{i}\ &{\mathtt {=}}\ q_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\beta _{I}\end{aligned}}}$

Por ejemplo, con y , los valores iniciales son y .${\displaystyle n=10111001}$${\displaystyle m=1101}$${\displaystyle q_{-1}=0}$${\displaystyle r_{-1}=101}$

${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$	${\displaystyle \alpha _{i+l-1}\ {\mathtt {=}}\ n\ {\mathtt {\&}}\ (1\ {\mathtt {<<}}\ (k+1-i-l))}$	${\displaystyle d_{i}\ {\mathtt {=}}\ r_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle \beta _{i}\ {\mathtt {=}}\ !(d_{i}<m)}$	${\displaystyle r_{i}\ {\mathtt {=}}\ d_{i}-m\ {\mathtt {\&}}\ \beta _{i}}$	${\displaystyle q_{i}\ {\mathtt {=}}\ q_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\beta _{i}}$
0	1	1011	0	1011-0 = 1011	0
1	1	10111	1	10111 - 1101 = 1010	1
10	0	10100	1	10100 - 1101 = 111	11
11	0	1110	1	1110 - 1101 = 1	111
100	1	11	0	11-0 = 11	1110

Así, y .${\displaystyle q=1110}$${\displaystyle r=11}$

Rendimiento

En cada iteración, la tarea que consume más tiempo es seleccionar . Sabemos que existen valores posibles, por lo que podemos encontrarlos mediante comparaciones . Cada comparación requerirá una evaluación . Sea el número de dígitos del dividendo y el número de dígitos del divisor . El número de dígitos en . Por tanto , la multiplicación de es , y también la resta de . Por lo tanto, se necesita para seleccionar . El resto del algoritmo son la suma y el desplazamiento de dígitos de y hacia la izquierda un dígito, por lo que lleva tiempo y en base , por lo que cada iteración requiere${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \beta _{i}}$ O ( log ⁡ ( b ) ) {\displaystyle O(\log(b))} ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle d_{i}\leq l+1}$${\displaystyle m\beta _{i}}$${\displaystyle O(l)}$${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$${\displaystyle O(l\log(b))}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle O(k)}$${\displaystyle O(l)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle O(l\log(b)+k+l)}$, o simplemente . Para todos los dígitos, el algoritmo lleva tiempo , o en base .${\displaystyle O(l\log(b)+k)}$${\displaystyle k-l+1}$${\displaystyle O((k-1)(l\log(b)+k))}$${\displaystyle O(kl\log(b)+k^{2})}$${\displaystyle b}$

Generalizaciones

Números racionales

La división larga de números enteros se puede ampliar fácilmente para incluir dividendos no enteros, siempre que sean racionales . Esto se debe a que todo número racional tiene una expansión decimal recurrente . El procedimiento también se puede ampliar para incluir divisores que tienen una expansión decimal finita o final (es decir, fracciones decimales ). En este caso, el procedimiento implica multiplicar el divisor y el dividendo por la potencia apropiada de diez para que el nuevo divisor sea un número entero, aprovechando el hecho de que a  ÷  b = ( ca ) ÷ ( cb ) - y luego proceder como se indicó anteriormente.

Polinomios

Una versión generalizada de este método llamada división larga de polinomios también se usa para dividir polinomios (a veces se usa una versión abreviada llamada división sintética ).

Ver también

• Algorismo
• Aritmética de precisión arbitraria
• Multiplicación y división egipcia
• Aritmética elemental
• División de Fourier
• División larga polinomial
• Cambio de algoritmo de raíz n-ésima : para encontrar la raíz cuadrada o cualquier raíz n-ésima de un número
• División corta

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "División larga" . MathWorld .
2. "La guía definitiva de matemáticas superiores a la división larga y sus variantes - para enteros" . Bóveda de matemáticas . 2019-02-24 . Consultado el 21 de junio de 2019 .
3. "Matemáticas islámicas" . new.math.uiuc.edu . Consultado el 31 de marzo de 2016 .
4. "Henry Briggs - Referencia de Oxford" .
5. Klein, Milgram. "El papel de la división larga en el plan de estudios K-12" (PDF) . CiteSeer . Consultado el 21 de junio de 2019 .
6. Nicholson, W. Keith (2012), Introducción al álgebra abstracta, 4ª ed., John Wiley & Sons, pág. 206.
7. "Símbolo de división larga" , Wolfram MathWorld , consultado el 11 de febrero de 2016.
8. Miller, Jeff (2010), "Símbolos de funcionamiento" , Primeros usos de varios símbolos matemáticos.
9. Hill, John (1772) [Publicado por primera vez en 1712], Arithmetick tanto en la teoría como en la práctica (11ª ed.), Londres: Straben et al., P. 200 , consultado el 12 de febrero de 2016

Enlaces externos

• Algoritmo de división larga
• División larga y lema de Euclides