Grassmannian afín

En matemáticas , el Grassmanniano afín de un grupo algebraico G sobre un campo k es un esquema ind, un colimito de esquemas de dimensión finita, que se puede considerar como una variedad de bandera para el grupo de bucles G ( k (( t )) ) y que describe la teoría de la representación del grupo dual L G de Langlands a través de lo que se conoce como la correspondencia geométrica de Satake .

Sea k un campo, y denote por y la categoría de k -álgebras conmutativas y la categoría de conjuntos, respectivamente. A través del lema de Yoneda , un esquema X sobre un campo k está determinado por su funtor de puntos , que es el funtor que lleva A al conjunto X ( A ) de A -puntos de X. Luego decimos que este funtor es representable por el esquema X. El Grassmannian afín es un funtor de k-álgebras a conjuntos que no son representables en sí mismos, pero que tienen una filtración por functores representables. Como tal, aunque no es un esquema, puede pensarse como una unión de esquemas, y esto es suficiente para aplicar de manera rentable métodos geométricos para estudiarlo.

Sea G un grupo algebraico sobre k . El afín Grassmannian Gr G es el funtor que asocia a un k -álgebra A el conjunto de clases de pares de isomorfismos ( E , φ ), donde E es un espacio homogéneo principal para G sobre Spec A [[ t ]] y φ es un isomorfismo, definido sobre Spec A (( t )), de E con el paquete G trivial G × Spec A ( (t )). Según el teorema de Beauville-Laszlo , también es posible especificar estos datos fijando una curva algebraica X sobre k , un punto k x en X , y tomando E como un paquete G en X A y φ como una trivialización en ( X  -  x ) A. _ Cuando G es un grupo reductivo , Gr G es de hecho ind-proyectivo, es decir, un límite inductivo de esquemas proyectivos.

Denotemos por el campo de las series formales de Laurent sobre k , y por el anillo de las series formales de poder sobre k . Al elegir una trivialización de E sobre todo , el conjunto de k puntos de Gr G se identifica con el espacio de clase lateral .