En matemáticas, el carácter infinitesimal de una representación irreductible ρ de un grupo de Lie semisimple G en un espacio vectorial V es, en términos generales, un mapeo a escalares que codifica el proceso de diferenciar primero y luego diagonalizar la representación. Por tanto, es una forma de extraer algo esencial de la representación ρ mediante dos linealizaciones sucesivas.
Formulación
El carácter infinitesimal es la forma lineal en el centro Z del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de G que induce la representación. Esta construcción se basa en alguna versión extendida del lema de Schur para mostrar que cualquier z en Z actúa sobre V como un escalar, que por abuso de notación podría escribirse ρ ( z ).
En un lenguaje más clásico, z es un operador diferencial , construido a partir de las transformaciones infinitesimales que son inducidas en V por el álgebra de Lie de G . El efecto de la lema de Schur es forzar todo v en V para ser simultáneas vectores propios de z que actúa sobre V . Llamar al valor propio correspondiente
- λ = λ ( z ),
el carácter infinitesimal es por definición el mapeo
- z → λ ( z ).
Hay margen para una formulación adicional. Por el isomorfismo Harish-Chandra , el centro Z puede ser identificado con la subálgebra de elementos de la álgebra simétrica de la subálgebra Cartan una que son invariantes bajo el grupo de Weyl, por lo que un carácter infinitesimal puede ser identificado con un elemento de
- a * ⊗ C / W ,
las órbitas bajo el grupo de Weyl W del espacio a * ⊗ C de funciones lineales complejas en la subálgebra de Cartan.