En matemáticas , el isomorfismo de Harish-Chandra , introducido por Harish-Chandra ( 1951 ), es un isomorfismo de anillos conmutativos construido en la teoría de las álgebras de Lie . El isomorfismo mapea el centro Z ( U ( g )) del álgebra envolvente universal U ( g ) de un álgebra de Lie reductiva g a los elementos S ( h ) W del álgebra simétrica S ( h ) de unSubálgebra de Cartan h que son invariantes bajo el grupo W de Weyl .
Invariantes fundamentales
Sea n el rango de g , que es la dimensión de la subálgebra de Cartan h . HSM Coxeter observó que S ( h ) W es un álgebra polinomial en n variables (consulte el teorema de Chevalley-Shephard-Todd para una declaración más general). Por lo tanto, el centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie reductiva es un álgebra polinomial. Los grados de los generadores son los grados de los invariantes fundamentales dados en la siguiente tabla.
| Álgebra de mentiras | Coxeter número h | Número de Coxeter doble | Grados de invariantes fundamentales |
|---|---|---|---|
| R | 0 | 0 | 1 |
| Un n | n + 1 | n + 1 | 2, 3, 4, ..., n + 1 |
| B n | 2 n | 2 n - 1 | 2, 4, 6, ..., 2 n |
| C n | 2 n | n + 1 | 2, 4, 6, ..., 2 n |
| D n | 2 n - 2 | 2 n - 2 | n ; 2, 4, 6, ..., 2 n - 2 |
| E 6 | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 |
| E 7 | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |
| E 8 | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |
| F 4 | 12 | 9 | 2, 6, 8, 12 |
| G 2 | 6 | 4 | 2, 6 |
Por ejemplo, el centro del álgebra envolvente universal de G 2 es un álgebra polinomial en generadores de grados 2 y 6.
Ejemplos
- Si g es el álgebra de Lie sl (2, R ), entonces el centro del álgebra envolvente universal es generado por el invariante de Casimir de grado 2, y el grupo de Weyl actúa sobre la subálgebra de Cartan, que es isomorfa a R , por negación, por lo que el invariante del grupo de Weyl es simplemente el cuadrado del generador de la subálgebra de Cartan, que también es de grado 2.
Introducción y escenario
Deje g sea un álgebra semisimple Lie , h su subálgebra Cartan y λ, μ ∈ h * Se dos elementos del espacio de peso y se supone que un conjunto de raíces positivas varphi + han sido corregidos. Sea V λ , resp. V μ serán los módulos de mayor peso con el mayor peso λ, resp. μ.
Personajes centrales
Los g -módulos V λ y V μ son representaciones del álgebra envolvente universal U ( g ) y su centro actúa sobre los módulos por multiplicación escalar (esto se deduce del hecho de que los módulos son generados por un vector de peso más alto). Por lo tanto, para v en V λ y x en Z ( U ( g )),
y de manera similar para V μ .
Las funciones son homomorfismos a los escalares llamados caracteres centrales .
Declaración del teorema de Harish-Chandra
Para cualquier λ, μ ∈ h *, los caracteressi y solo si λ + δ y μ + δ están en la misma órbita del grupo Weyl de h *, donde δ es la mitad de la suma de las raíces positivas . [1]
Otra formulación estrechamente relacionada es que el homomorfismo de Harish-Chandra desde el centro del álgebra envolvente universal Z ( U ( g )) a S ( h ) W (los elementos del álgebra simétrica de la subálgebra de Cartan fijados por el grupo de Weyl) es un isomorfismo .
Aplicaciones
El teorema puede usarse para obtener una demostración algebraica simple de la fórmula de caracteres de Weyl para representaciones de dimensión finita.
Además, es una condición necesaria para la existencia de un homomorfismo distinto de cero de algunos módulos de mayor peso (un homomorfismo de tales módulos conserva el carácter central). Una consecuencia simple es que para los módulos Verma o los módulos Verma generalizados V λ con el mayor peso λ, existen solo un número finito de pesos μ, de modo que existe un homomorfismo V λ → V μ distinto de cero .
Ver también
Notas
- ^ Humphreys (1972), p.130
Referencias
- Harish-Chandra (1951), "Sobre algunas aplicaciones del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple", Transactions of the American Mathematical Society , 70 (1): 28–96, doi : 10.2307 / 1990524 , JSTOR 1990524 , MR 0044515
- Humphreys, James (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Saltador. ISBN 978-0387900537.
- Humphreys, James E. (2008), Representaciones de álgebras de Lie semisimples en la categoría BGG O , AMS, p. 26, ISBN 978-0-8218-4678-0
- Knapp, Anthony W .; Vogan, David A. (1995), Inducción cohomológica y representaciones unitarias , Princeton Mathematical Series, 45 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-03756-1, MR 1330919
- Knapp, Anthony W. (2013) [1996], "V. Representaciones dimensionales finitas §5. Isomorfismo de Harish-Chandra" , Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progreso en matemáticas, 140 , Springer, págs. 246-258, ISBN 978-1-4757-2453-0
