La estabilidad de entrada a estado (ISS) [1] [2] [3] [4] es una noción de estabilidad ampliamente utilizada para estudiar la estabilidad de sistemas de control no lineales con entradas externas. En términos generales, un sistema de control es ISS si es globalmente asintóticamente estable en ausencia de entradas externas y si sus trayectorias están limitadas por una función del tamaño de la entrada para todos los tiempos suficientemente grandes. La importancia de ISS se debe al hecho de que el concepto ha cerrado la brecha entre los métodos de entrada-salida y espacio de estados , ampliamente utilizados dentro de la comunidad de sistemas de control. La noción de ISS fue introducida por Eduardo Sontag en 1989 [5].
Definición
Considere un sistema invariante en el tiempo de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma
( 1 )
dónde es una entrada externa esencialmente acotada medible de Lebesgue yes una función continua de Lipschitz con el primer argumento uniformemente con el segundo. Esto asegura que existe una única solución absolutamente continua del sistema ( 1 ).
Para definir ISS y propiedades relacionadas, explotamos las siguientes clases de funciones de comparación . Denotamos por el conjunto de funciones crecientes continuas con . El conjunto de funciones ilimitadas denotamos por . También denotamos Si para todos y es continuo y estrictamente decreciente a cero para todos .
El sistema ( 1 ) se denomina globalmente asintóticamente estable en cero (0-GAS) si el sistema correspondiente con entrada cero
(Sin entradas )
es globalmente asintóticamente estable , es decir, existen de modo que para todos los valores iniciales y todo el tiempo la siguiente estimación es válida para soluciones de (Sin entradas )
( Estimación GAS )
El sistema ( 1 ) se denomina estable de entrada a estado (ISS) si existen funciones y de modo que para todos los valores iniciales , todas las entradas admisibles y todo el tiempo la siguiente desigualdad se cumple
( 2 )
La función en la desigualdad anterior se llama ganancia .
Claramente, un sistema ISS es 0-GAS y BIBO estable (si ponemos la salida igual al estado del sistema). En general, la implicación inversa no es cierta.
También se puede probar que si , como , luego , .
Caracterizaciones de la propiedad de estabilidad de entrada a estado
Para comprender la ISS, sus reformulaciones en términos de otras propiedades de estabilidad son de gran importancia.
El sistema ( 1 ) se denomina globalmente estable (GS) si existen tal que , y sostiene eso
( GS )
El sistema ( 1 ) satisface la propiedad de ganancia asintótica (AG) si existe: , sostiene eso
( AG )
Las siguientes declaraciones son equivalentes
1. ( 1 ) es ISS
2. ( 1 ) es GS y tiene la propiedad AG
3. ( 1 ) es 0-GAS y tiene la propiedad AG
La prueba de este resultado, así como muchas otras caracterizaciones de ISS, se pueden encontrar en los artículos [6] y [7].
Funciones de ISS-Lyapunov
Una herramienta importante para la verificación de ISS son las funciones de ISS-Lyapunov .
Una función suave se llama función ISS-Lyapunov para ( 1 ), si, y función definida positiva , tal que:
y se mantiene:
La función se llama ganancia de Lyapunov .
Si un sistema ( 1 ) no tiene entradas (es decir,), entonces la última implicación se reduce a la condición
que nos dice que es una función de Lyapunov "clásica" .
Un resultado importante debido a E. Sontag e Y. Wang es que un sistema ( 1 ) es ISS si y solo si existe una función suave ISS-Lyapunov para él. [7]
Ejemplos de
Considere un sistema
Definir una función ISS-Lyapunov candidata por
Elija una ganancia de Lyapunov por
- .
Entonces obtenemos eso por se mantiene
Esto muestra que es una función ISS-Lyapunov para un sistema considerado con la ganancia de Lyapunov .
Interconexiones de sistemas ISS
Una de las principales características del marco ISS es la posibilidad de estudiar las propiedades de estabilidad de las interconexiones de sistemas estables de entrada a estado.
Considere el sistema dado por
( WholeSys )
Aquí , y son Lipschitz continuos en uniformemente con respecto a las entradas del -th subsistema.
Para el -th subsistema de ( WholeSys ) la definición de una función ISS-Lyapunov se puede escribir de la siguiente manera.
Una función suave es una función ISS-Lyapunov (ISS-LF) para el -th subsistema de ( WholeSys ), si existen funciones, , , , y una función definida positiva , tal que:
y se mantiene
Interconexiones en cascada
Las interconexiones en cascada son un tipo especial de interconexión, donde la dinámica de la -th subsistema no depende de los estados de los subsistemas . Formalmente, la interconexión en cascada se puede escribir como
Si todos los subsistemas del sistema anterior son ISS, entonces toda la interconexión en cascada también es ISS. [5] [4]
A diferencia de las cascadas de los sistemas ISS, la interconexión en cascada de los sistemas 0-GAS en general no es 0-GAS. El siguiente ejemplo ilustra este hecho. Considere un sistema dado por
( Ex_GAS )
Ambos subsistemas de este sistema son 0-GAS, pero para estados iniciales suficientemente grandes y por un cierto tiempo finito se mantiene por , es decir, el sistema ( Ex_GAS ) exhibe un tiempo de escape finito y, por lo tanto, no es 0-GAS.
Interconexiones de retroalimentación
La estructura de interconexión de los subsistemas se caracteriza por las ganancias internas de Lyapunov . La pregunta, si la interconexión ( WholeSys ) es ISS, depende de las propiedades del operador de ganancia. definido por
El siguiente teorema de pequeña ganancia establece una condición suficiente para ISS de la interconexión de sistemas ISS. Dejar ser una función de ISS-Lyapunov para -th subsistema de ( WholeSys ) con las ganancias correspondientes, . Si la condición de pequeña ganancia no lineal
( SGC )
se sostiene, entonces toda la interconexión es ISS. [8] [9]
La condición de pequeña ganancia ( SGC ) mantiene iff para cada ciclo en (eso es para todos , dónde ) y para todos se mantiene
La condición de pequeña ganancia en esta forma también se denomina condición cíclica de pequeña ganancia.
Conceptos de estabilidad relacionados
ISS integral (iISS)
El sistema ( 1 ) se denomina estable integral de entrada a estado (ISS) si existen funciones y de modo que para todos los valores iniciales , todas las entradas admisibles y todo el tiempo la siguiente desigualdad se cumple
( 3 )
A diferencia de los sistemas ISS, si un sistema es ISS integral, sus trayectorias pueden ser ilimitadas incluso para entradas limitadas. Para ver esto puesto para todos y tomar . Entonces la estimación ( 3 ) toma la forma
y el lado derecho crece hasta el infinito a medida que .
Al igual que en el marco de ISS, los métodos de Lyapunov juegan un papel central en la teoría de iISS.
Una función suave se llama función iISS-Lyapunov para ( 1 ), si, y función definida positiva , tal que:
y se mantiene:
Un resultado importante debido a D. Angeli, E. Sontag e Y. Wang es que el sistema ( 1 ) es ISS integral si y solo si existe una función iISS-Lyapunov para él.
Tenga en cuenta que en la fórmula anterior se supone que es solo positivo definido . Se puede probar fácilmente, [10] que si es una función iISS-Lyapunov con , luego es en realidad una función ISS-Lyapunov para un sistema ( 1 ).
Esto muestra, en particular, que cada sistema ISS es ISS integral. La implicación inversa no es cierta, como muestra el siguiente ejemplo. Considere el sistema
Este sistema no es ISS, ya que para entradas lo suficientemente grandes, las trayectorias son ilimitadas. Sin embargo, es ISS integral con una función iISS-Lyapunov definido por
ISS local (LISS)
Las versiones locales de la propiedad ISS también juegan un papel importante. Un sistema ( 1 ) se llama localmente ISS (LISS) si existe una constante y funciones
y para que para todos , todas las entradas admisibles y todo el tiempo sostiene eso
( 4 )
Una observación interesante es que 0-GAS implica LISS. [11]
Otras nociones de estabilidad
Se han introducido muchas otras nociones relacionadas con la estabilidad de la ISS: ISS incremental, estabilidad dinámica de entrada a estado (ISDS), [12] estabilidad práctica de entrada a estado (ISpS), estabilidad de entrada a salida (IOS) [13 ] etc.
ISS de sistemas de retardo de tiempo
Considere el sistema de retardo de tiempo invariante en el tiempo
( TDS )
Aquí es el estado del sistema ( TDS ) en el momento, y satisface ciertos supuestos para garantizar la existencia y unicidad de las soluciones del sistema ( TDS ).
El sistema ( TDS ) es ISS si y solo si existen funciones y tal que por cada , cada entrada admisible y para todos , sostiene que
( ISS-TDS )
En la teoría ISS para sistemas de retardo de tiempo se han propuesto dos condiciones suficientes de tipo Lyapunov diferentes: a través de las funciones ISS Lyapunov-Razumikhin [14] y mediante las funciones ISS Lyapunov-Krasovskii. [15] Para los teoremas inversos de Lyapunov para sistemas de retardo de tiempo, ver. [dieciséis]
ISS de otras clases de sistemas
La estabilidad de entrada a estado de los sistemas basados en ecuaciones diferenciales ordinarias invariantes en el tiempo es una teoría bastante desarrollada. Sin embargo, también se está investigando la teoría ISS de otras clases de sistemas: sistemas ODE variantes en el tiempo , [17] sistemas híbridos . [18] [19] En el último tiempo también se han propuesto ciertas generalizaciones de los conceptos de ISS a sistemas de dimensión infinita. [20] [21] [3] [22]
Referencias
- ^ Eduardo D. Sontag. Teoría del control matemático: sistemas de dimensión finita. Springer-Verlag, Londres, 1998
- ^ Hassan K. Khalil. Sistemas no lineales. Prentice Hall, 2002.
- ^ a b Iasson Karafyllis y Zhong-Ping Jiang. Estabilidad y estabilización de sistemas no lineales. Serie Ingeniería de Comunicaciones y Control. Springer-Verlag London Ltd., Londres, 2011.
- ^ a b Eduardo D. Sontag. Insumos para la estabilidad del estado: conceptos básicos y resultados. En la teoría del control óptimo y no lineal, volumen 1932 de Lecture Notes in Math., Páginas 163–220, Berlín, 2008. Springer
- ^ a b Eduardo D. Sontag. La estabilización suave implica factorización coprime. IEEE Trans. Aparato mecánico. Control, 34 (4): 435–443, 1989.
- ^ a b Eduardo D. Sontag y Yuan Wang. Nuevas caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado . IEEE Trans. Aparato mecánico. Control, 41 (9): 1283-1294, 1996.
- ^ a b Eduardo D. Sontag y Yuan Wang. Sobre caracterizaciones de la propiedad de estabilidad de entrada a estado Archivado el 3 de julio de 2013 en la Wayback Machine . Systems Control Lett., 24 (5): 351–359, 1995.
- ^ Zhong-Ping Jiang, Iven MY Mareels y Yuan Wang. Una formulación de Lyapunov del teorema de pequeña ganancia no lineal para sistemas ISS interconectados. Automatica J. IFAC, 32 (8): 1211-1215, 1996.
- ^ Sergey Dashkovskiy, Björn S. Rüffer y Fabian R. Wirth. Una función ISS Lyapunov para redes de sistemas ISS. En Actas del 17º Simposio Internacional sobre Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS), Kyoto, Japón, 24-28 de julio de 2006, páginas 77–82, 2006
- ^ Ver comentario 2.4. en Eduardo D. Sontag y Yuan Wang. Sobre caracterizaciones de la propiedad de estabilidad de entrada a estado. Systems Control Lett., 24 (5): 351–359, 1995
- ^ Lema I.1, p.1285 en Eduardo D. Sontag y Yuan Wang. Nuevas caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado. IEEE Trans. Aparato mecánico. Control, 41 (9): 1283–1294, 1996
- ^ Lars Grüne. Estabilidad dinámica de entrada a estado y su caracterización de la función de Lyapunov. IEEE Trans. Aparato mecánico. Control, 47 (9): 1499-1504, 2002.
- ^ Z.-P. Jiang, AR Teel y L. Praly. Teorema de pequeña ganancia para sistemas y aplicaciones ISS. Matemáticas. Control Signals Systems, 7 (2): 95-120, 1994.
- ^ Andrew R. Teel. Conexiones entre los teoremas de tipo Razumikhin y el teorema de pequeña ganancia no lineal ISS. IEEE Trans. Aparato mecánico. Control, 43 (7): 960–964, 1998.
- ^ P. Pepe y Z.-P. Jiang. Una metodología Lyapunov-Krasovskii para ISS e iISS de sistemas de retardo de tiempo. Systems Control Lett., 55 (12): 1006–1014, 2006.
- ^ Iasson Karafyllis. Teoremas de Lyapunov para sistemas descritos por ecuaciones diferenciales funcionales retardadas. Análisis no lineal: teoría, métodos y aplicaciones, 64 (3): 590 - 617,2006.
- ^ Yuandan Lin, Yuang Wang y Daizhan Cheng. Sobre la estabilidad de entrada a estado no uniforme y semi-uniforme para sistemas que varían en el tiempo. En el Congreso Mundial de IFAC, Praga, 2005.
- ^ Chaohong Cai y Andreww R. Teel. Caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado para sistemas híbridos. Systems & Control Letters, 58 (1): 47–53, 2009.
- ^ D. Nesic y AR Teel. Un teorema de pequeña ganancia basado en Lyapunov para sistemas ISS híbridos. En Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancún, México, 9-11 de diciembre de 2008, páginas 3380–3385, 2008.
- ^ Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann y Eugene P. Ryan. Sistemas de retroalimentación de dimensión infinita: el criterio del círculo y la estabilidad de entrada a estado . Comun. Inf. Syst., 8 (4): 413–414, 2008.
- ^ Dashkovskiy, S. y Mironchenko, A. Estabilidad de entrada a estado de sistemas de control de dimensión infinita. [ enlace muerto ] En Matemáticas de control, señales y sistemas (MCSS), 2013
- ^ F. Mazenc y C. Prieur. Funciones de Lyapunov estrictas para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas semilineales. Control matemático y campos relacionados, 1: 231–250, junio de 2011.