En geometría , un ángulo de un polígono está formado por dos lados del polígono que comparten un punto final. Para un polígono simple (que no se interseca automáticamente), independientemente de si es convexo o no convexo , este ángulo se llama ángulo interior (oángulo interno ) si un punto dentro del ángulo está en el interior del polígono. Un polígono tiene exactamente un ángulo interno porvértice.
Si cada ángulo interno de un polígono simple es menor de 180 °, entonces el polígono se llama convexo .
Por el contrario, un ángulo exterior (también llamadoángulo externo o ángulo de giro) es un ángulo formado por un lado de un polígono simple y unalínea que se extiende desde un lado adyacente. [1] [2] : págs. 261–264
Propiedades
- La suma del ángulo interno y el ángulo externo en el mismo vértice es 180 °.
- La suma de todos los ángulos internos de un polígono simple es 180 ( n –2) °, donde n es el número de lados. La fórmula se puede probar usando inducción matemática : comenzando con un triángulo, para el cual la suma de ángulos es 180 °, luego reemplazando un lado con dos lados conectados en otro vértice, y así sucesivamente.
- La suma de los ángulos externos de cualquier polígono convexo o no convexo simple, si solo se supone uno de los dos ángulos externos en cada vértice, es 360 °.
- La medida del ángulo exterior en un vértice no se ve afectada por qué lado se extiende: los dos ángulos exteriores que se pueden formar en un vértice extendiendo alternativamente un lado o el otro son ángulos verticales y, por lo tanto, son iguales.
Extensión a polígonos cruzados
El concepto de ángulo interior se puede extender de manera consistente a polígonos cruzados , como polígonos de estrellas, utilizando el concepto de ángulos dirigidos . En general, la suma del ángulo interior en grados de cualquier polígono cerrado, incluidos los cruzados (que se intersecan automáticamente), viene dada por 180 ( n –2 k ) °, donde n es el número de vértices y el entero estrictamente positivo k es el número total de revoluciones (360 °) que uno experimenta al caminar alrededor del perímetro del polígono . En otras palabras, 360 k ° representa la suma de todos los ángulos exteriores. Ejemplo: para polígonos convexos ordinarios y polígonos cóncavos , k = 1, ya que la suma de los ángulos exteriores es 360 °, y uno experimenta solo una revolución completa al caminar alrededor del perímetro.
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Bisectriz de ángulo exterior". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ExteriorAngleBisector.html
- ^ Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
enlaces externos
- Ángulos internos de un triángulo
- Suma de ángulos interiores de polígonos: una fórmula general : proporciona una actividad Java interactiva que amplía la fórmula de suma de ángulos interiores para polígonos cerrados simples para incluir polígonos cruzados (complejos).