La teoría de conjuntos internos ( IST ) es una teoría matemática de conjuntos desarrollada por Edward Nelson que proporciona una base axiomática para una parte del análisis no estándar introducido por Abraham Robinson . En lugar de agregar nuevos elementos a los números reales , el enfoque de Nelson modifica los fundamentos axiomáticos mediante el enriquecimiento sintáctico. Por lo tanto, los axiomas introducen un nuevo término, "estándar", que puede usarse para hacer que las discriminaciones no sean posibles bajo los axiomas convencionales para conjuntos . Por tanto, IST es un enriquecimiento de ZFC: todos los axiomas de ZFC se satisfacen para todos los predicados clásicos, mientras que el nuevo predicado unario "estándar" satisface tres axiomas adicionales I, S y T.En particular, se puede demostrar que los elementos no estándar adecuados dentro del conjunto de números reales tienen propiedades que corresponden a las propiedades de elementos infinitesimales e ilimitados.
La formulación de Nelson se hace más accesible para el matemático lego al omitir muchas de las complejidades de la lógica metamatemática que inicialmente se requerían para justificar rigurosamente la consistencia de los sistemas numéricos que contienen elementos infinitesimales.
Si bien IST tiene un esquema axiomático perfectamente formal, que se describe a continuación, es deseable una justificación intuitiva del significado del término estándar . Esto no es parte de la teoría formal, pero es un dispositivo pedagógico que puede ayudar al estudiante a interpretar el formalismo. La distinción esencial, similar al concepto de números definibles , contrasta la finitud del dominio de conceptos que podemos especificar y discutir con la infinidad ilimitada del conjunto de números; comparar el finitismo .
El término estándar, por lo tanto, se considera intuitivamente que corresponde a una parte necesariamente finita de números enteros "accesibles". El argumento se puede aplicar a cualquier conjunto infinito de objetos: solo hay tantos elementos que se pueden especificar en un tiempo finito usando un conjunto finito de símbolos y siempre hay aquellos que se encuentran más allá de los límites de nuestra paciencia y resistencia, no importa. cómo perseveramos. Debemos admitir una profusión de elementos no estándar , demasiado grandes o demasiado anónimos para captarlos, dentro de cualquier conjunto infinito.
Los siguientes principios se derivan de la motivación intuitiva anterior y, por lo tanto, deben ser deducibles de los axiomas formales. Por el momento, consideramos que el dominio de la discusión es el conjunto familiar de números enteros.
IST es una teoría axiomática en la lógica de primer orden con igualdad en un lenguaje que contiene un símbolo de predicado binario ∈ y un símbolo de predicado unario st ( x ). Las fórmulas que no incluyen st (es decir, fórmulas del lenguaje habitual de la teoría de conjuntos) se denominan internas, otras fórmulas se denominan externas. Usamos las abreviaturas
IST incluye todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Tenga en cuenta que los esquemas ZFC de separación y sustitución se no se extiende al nuevo lenguaje, que sólo se pueden utilizar con las fórmulas internas. Por otra parte, IST incluye tres nuevos esquemas axioma - convenientemente una para cada letra de su nombre: Me dealisation, S tandardisation y T ransferencia.
La afirmación de este axioma comprende dos implicaciones. La implicación de derecha a izquierda puede reformularse mediante la simple afirmación de que los elementos de conjuntos finitos estándar son estándar. La implicación más importante de izquierda a derecha expresa que la colección de todos los conjuntos estándar está contenida en un conjunto finito (no estándar) y, además, este conjunto finito puede tomarse para satisfacer cualquier propiedad interna dada compartida por todos los conjuntos finitos estándar.
Este esquema de axioma muy general sostiene la existencia de elementos "ideales" en circunstancias apropiadas. Tres aplicaciones particulares demuestran importantes consecuencias.
Si S es estándar y finito, que damos por la relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g es en S . Dado que " Para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " es falso (no existe tal g cuando F = S ), podemos usar la idealización para decirnos que " Hay a G en S tal que G ≠ f para todo estándar f "también es falso, es decir, todos los elementos de S son estándar.
Si S es infinito, entonces tomamos para la relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g es en S . Desde " Para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " (el conjunto infinito S no es un subconjunto del conjunto finito F ), podemos usar idealización para derivar " Hay es una G en S tal que G ≠ f para todo estándar f ". En otras palabras, cada conjunto infinito contiene un elemento no estándar (muchos, de hecho).
El conjunto de potencia de un conjunto finito estándar es estándar (por transferencia) y finito, por lo que todos los subconjuntos de un conjunto finito estándar son estándar.
Si S es no estándar, que damos por la relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g es en S . Dado que " Para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " (el conjunto no estándar S no es un subconjunto del conjunto estándar y finito F ), podemos usar la idealización para derivar " Hay una G en S tal que G ≠ f para todo f estándar. " En otras palabras, todo conjunto no estándar contiene un elemento no estándar.
Como consecuencia de todos estos resultados, todos los elementos de un conjunto S son estándar si y solo si S es estándar y finito.
Dado que " Para cada conjunto finito estándar de números naturales F hay un número natural g tal que g> f para todo f en F " - digamos, g = máximo ( F ) + 1 - podemos usar la idealización para derivar " Hay un número natural G tal que G> f para todos los números naturales estándar f ". En otras palabras, existe un número natural mayor que cada número natural estándar.
Más precisamente, tomamos para R ( g , f ): g es un conjunto finito que contiene el elemento f . Dado que " Para cada conjunto estándar, finito F, hay un conjunto finito g tal que f ∈ g para todo f en F ", digamos eligiendo g = F , podemos usar la idealización para derivar " Hay un conjunto finito G tal que que f ∈ G para todas las f estándar ". Para cualquier conjunto S , la intersección de S con el conjunto G es un subconjunto finito de S que contiene cada elemento estándar de S .G es necesariamente no estándar.
Aparte de las motivaciones intuitivas sugeridas anteriormente, es necesario justificar que los axiomas IST adicionales no conducen a errores o inconsistencias en el razonamiento. Los errores y las debilidades filosóficas en el razonamiento sobre números infinitesimales en el trabajo de Gottfried Leibniz , Johann Bernoulli , Leonhard Euler , Augustin-Louis Cauchy y otros fueron la razón por la que fueron originalmente abandonados por los argumentos más engorrosos [ cita requerida ] basados en números reales desarrollado por Georg Cantor , Richard Dedekind y Karl Weierstrass, que fueron percibidos como más rigurosos por los seguidores de Weierstrass.
El enfoque de la teoría de conjuntos internos es el mismo que el de cualquier nuevo sistema axiomático: construimos un modelo para los nuevos axiomas utilizando los elementos de un esquema de axiomas más simple y confiable. Esto es bastante similar a justificar la consistencia de los axiomas de la geometría no euclidiana al señalar que pueden modelarse mediante una interpretación apropiada de los grandes círculos en una esfera en el espacio tridimensional ordinario.
De hecho, a través de un modelo adecuado, se puede dar una prueba de la consistencia relativa de IST en comparación con ZFC: si ZFC es consistente, entonces IST es consistente. De hecho, se puede hacer una afirmación más fuerte: IST es una extensión conservadora de ZFC: cualquier fórmula interna que se pueda probar dentro de la teoría de conjuntos internos se puede probar en los axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección solo. [1]
Karel Hrbacek y otros desarrollaron teorías relacionadas .