En matemáticas , la forma de intersección de una variedad 4 compacta orientada es una forma bilineal simétrica especial en el segundo (co) grupo de homología de la variedad 4. Refleja gran parte de la topología de las 4 variedades, incluida información sobre la existencia de una estructura suave .
Definición usando intersección
Sea M un colector 4 cerrado (PL o liso). Tome una triangulación T de M . Denotamos porla subdivisión de celda dual . Representar clasespor 2 ciclos A y B módulo 2 vistos como uniones de 2-simples de T y de, respectivamente. Definir la forma de intersección módulo 2
por la fórmula
Esto está bien definido porque la intersección de un ciclo y un límite consiste en un número par de puntos (por definición de un ciclo y un límite).
Si M está orientado, de manera análoga (es decir, contando intersecciones con signos) se define la forma de intersección en el segundo grupo de homología
Usando la noción de transversalidad, se pueden enunciar los siguientes resultados (que constituyen una definición equivalente de la forma de intersección).
- Si clases están representados por superficies cerradas (o 2 ciclos módulo 2) A y B que se encuentran transversalmente, entonces
- Si M está orientado y clasesestán representados por superficies orientadas cerradas (o 2 ciclos) A y B que se encuentran transversalmente, luego cada punto de intersección en tiene el signo +1 o −1 dependiendo de las orientaciones, y es la suma de estos signos.
Definición usando producto de taza
Usando la noción de producto de taza , se puede dar una definición dual (y por tanto equivalente) de la siguiente manera. Sea M un 4 colector de orientación cerrado (PL o liso). Definir la forma de intersección en el segundo grupo de cohomología
por la fórmula
La definición de un producto de taza es dual (y por lo tanto es análoga) a la definición anterior de la forma de intersección en la homología de una variedad, pero es más abstracta. Sin embargo, la definición de un producto en taza se generaliza a complejos y variedades topológicas. Esta es una ventaja para los matemáticos interesados en complejos y variedades topológicas (no solo en PL y variedades suaves).
Cuando el 4-colector es suave, a continuación, en de Rham cohomology , si una y b están representados por 2-formas y , entonces la forma de intersección se puede expresar mediante la integral
dónde es el producto de la cuña .
La definición que utiliza el producto de taza tiene un módulo analógico 2 más simple (que funciona para colectores no orientables). Por supuesto, uno no tiene esto en la cohomología de De Rham.
Propiedades y aplicaciones
La dualidad de Poincaré establece que la forma de intersección es unimodular (hasta la torsión).
Según la fórmula de Wu, una variedad de espín 4 debe tener una forma de intersección uniforme, es decir,es par para cada x . Para un colector 4 simplemente conectado (o más generalmente uno sin torsión 2 que resida en la primera homología), se cumple lo contrario.
La firma de la forma de intersección es un invariante importante. Un distribuidor de 4 delimita un distribuidor de 5 si y solo si tiene firma cero. El lema de Van der Blij implica que una variedad de espín 4 tiene la firma de un múltiplo de ocho. De hecho, el teorema de Rokhlin implica que una variedad 4 de espín suave y compacta tiene la firma un múltiplo de 16.
Michael Freedman usó la forma de intersección para clasificar 4 variedades topológicas simplemente conectadas. Dada cualquier forma bilineal simétrica unimodular sobre los números enteros, Q , hay un M 4-múltiple cerrado simplemente conectado con la forma Q de intersección . Si Q es par, solo hay una variedad de este tipo. Si Q es impar, hay dos, y al menos uno (posiblemente ambos) no tiene una estructura uniforme. Por lo tanto, dos colectores 4 lisos cerrados simplemente conectados con la misma forma de intersección son homeomorfos. En el caso extraño, las dos variedades se distinguen por su invariante de Kirby-Siebenmann .
El teorema de Donaldson establece que un 4-múltiple liso simplemente conectado con forma de intersección definida positiva tiene la forma de intersección diagonal (escalar 1). Entonces, la clasificación de Freedman implica que hay muchos 4 colectores no suavizables, por ejemplo, el colector E8 .
Referencias
- Kirby, Robion (1989), The topology of 4-manifolds, Lecture Notes in Math. 1374 , Springer-Verlag
- Scorpan, Alexandru (2005), El mundo salvaje de 4 variedades , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3749-4
- Skopenkov, Arkadiy (2015), Topología algebraica desde el punto de vista geométrico (en ruso) , MCCME, ISBN 978-5-4439-0293-7