En matemáticas , una estructura suave en una variedad permite una noción inequívoca de función suave . En particular, una estructura suave permite realizar análisis matemáticos en la variedad. [1]
Definición
Una estructura suave en una variedad M es una colección de atlas suaves equivalentes sin problemas. Aquí, a lisas atlas para una variedad topológica M es un atlas de M tal que cada función de transición es un mapa liso , y dos atlas lisas para M son suavemente equivalente siempre que su unión es de nuevo un atlas lisas para M . Esto da una relación de equivalencia natural en el conjunto de atlas suaves.
Un múltiple liso es una variedad topológica M junto con una estructura lisa en M .
Atlas suaves máximos
Al tomar la unión de todos los atlas que pertenecen a una estructura suave, obtenemos un atlas suave máximo . Este atlas contiene todos los gráficos que son compatibles con la estructura suave. Existe una correspondencia uno a uno natural entre las estructuras suaves y los atlas suaves máximos. Por tanto, podemos considerar una estructura suave como un atlas máximo y viceversa.
En general, los cálculos con el atlas máximo de una variedad son bastante difíciles de manejar. Para la mayoría de las aplicaciones, basta con elegir un atlas más pequeño. Por ejemplo, si la variedad es compacta , entonces se puede encontrar un atlas con solo un número finito de gráficos.
Equivalencia de estructuras lisas
Dejar y ser dos atlas máximo en M . Las dos estructuras lisas asociadas a y se dice que son equivalentes si hay un homeomorfismo tal que . [ cita requerida ]
Esferas exóticas
John Milnor demostró en 1956 que la esfera de 7 dimensiones admite una estructura lisa que no es equivalente a la estructura lisa estándar. Una esfera equipada con una estructura suave no estándar se llama esfera exótica .
Colector E8
El colector E8 es un ejemplo de colector topológico que no admite una estructura uniforme. Esto esencialmente demuestra que el teorema de Rokhlin solo se aplica a las estructuras suaves y no a las variedades topológicas en general.
Estructuras relacionadas
Los requisitos de suavidad en las funciones de transición se pueden debilitar, de modo que solo requerimos que los mapas de transición sean k veces continuamente diferenciables; o fortalecido, por lo que requerimos que los mapas de transición sean analíticos reales. En consecuencia, esto da unao estructura (real) analítica en la variedad en lugar de una suave. De manera similar, podemos definir una estructura compleja requiriendo que los mapas de transición sean holomórficos.
Ver también
Referencias
- ^ Callahan, James J. (1974). "Singularidades y mapas de planos" . Amer. Matemáticas. Mensual . 81 : 211-240. doi : 10.2307 / 2319521 .
- Hirsch, Morris (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90148-5.
- Lee, John M. (2006). Introducción a los colectores lisos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
- Sepanski, Mark R. (2007). Grupos de mentiras compactos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.