Un juego de dados es intransitivo (o no transitivo) si contiene tres dados, A , B y C , con la propiedad de que A tira más que B más de la mitad de las veces, y B tira más que C más de la mitad de las veces. pero no es cierto que A salga más alto que C más de la mitad de las veces. En otras palabras, un conjunto de dados es intransitivo si la relación binaria ( X saca un número mayor que Y más de la mitad del tiempo) en sus elementos no es transitiva .
Es posible encontrar conjuntos de dados con la propiedad aún más fuerte de que, por cada dado del conjunto, hay otro dado que lanza un número más alto que él más de la mitad de las veces. Con tal juego de dados, uno puede inventar juegos que están sesgados de formas que las personas que no están acostumbradas a los dados intransitivos podrían no esperar (ver Ejemplo ). [1] [2] [3] [4]
Ejemplo
Considere el siguiente juego de dados.
- El dado A tiene lados 2, 2, 4, 4, 9, 9.
- El dado B tiene lados 1, 1, 6, 6, 8, 8.
- El dado C tiene lados 3, 3, 5, 5, 7, 7.
La probabilidad de que A saque un número más alto que B , la probabilidad de que B saque más alto que C y la probabilidad de que C saque más alto que A son todas5/9, por lo que este juego de dados es intransitivo. De hecho, tiene la propiedad aún más fuerte de que, por cada dado del conjunto, hay otro dado que lanza un número más alto que él más de la mitad de las veces.
Ahora, considere el siguiente juego, que se juega con un juego de dados.
- El primer jugador elige un dado del conjunto.
- El segundo jugador elige un dado de los dados restantes.
- Ambos jugadores lanzan su dado; el jugador que lanza el número más alto gana.
Si este juego se juega con un juego de dados transitivo, es justo o está sesgado a favor del primer jugador, porque el primer jugador siempre puede encontrar un dado que no será derrotado por ningún otro dado más de la mitad del tiempo. Sin embargo, si se juega con el juego de dados descrito anteriormente, el juego está sesgado a favor del segundo jugador, porque el segundo jugador siempre puede encontrar un dado que supere al dado del primer jugador con probabilidad. 5/9. Las siguientes tablas muestran todos los resultados posibles para los tres pares de dados.
El jugador 1 elige el dado A El jugador 2 elige el dado C | El jugador 1 elige el dado B El jugador 2 elige el dado A | El jugador 1 elige el dado C El jugador 2 elige el dado B | |||||||||||
A C | 2 | 4 | 9 | B A | 1 | 6 | 8 | C B | 3 | 5 | 7 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | C | A | A | 2 | A | B | B | 1 | C | C | C | ||
5 | C | C | A | 4 | A | B | B | 6 | B | B | C | ||
7 | C | C | A | 9 | A | A | A | 8 | B | B | B |
Comentario sobre la equivalencia de dados intransitivos
Aunque los tres dados intransitivos A, B, C (primer juego de dados)
- A: 2, 2, 6, 6, 7, 7
- B: 1, 1, 5, 5, 9, 9
- C: 3, 3, 4, 4, 8, 8
P (A> B) = P (B> C) = P (C> A) = 5/9
y los tres dados intransitivos A ′, B ′, C ′ (segundo juego de dados)
- A ′: 2, 2, 4, 4, 9, 9
- B ′: 1, 1, 6, 6, 8, 8
- C ′: 3, 3, 5, 5, 7, 7
P (A ′> B ′) = P (B ′> C ′) = P (C ′> A ′) = 5/9
ganar unos contra otros con la misma probabilidad de que no sean equivalentes. Mientras que el primer juego de dados (A, B, C) tiene un dado 'más alto', el segundo juego de dados tiene un dado 'más bajo'. Lanzar los tres dados de un juego y usar siempre la puntuación más alta para la evaluación mostrará un patrón ganador diferente para los dos juegos de dados. Con el primer juego de dados, el dado B ganará con la mayor probabilidad ( 88/216) y los dados A y C ganarán cada uno con una probabilidad de 64/216. Con el segundo juego de dados, el dado C ′ ganará con la menor probabilidad ( 56/216) y los dados A ′ y B ′ ganarán cada uno con una probabilidad de 80/216.
Variaciones
Los dados de Efron
Los dados de Efron son un conjunto de cuatro dados intransitivos inventados por Bradley Efron .
Los cuatro dados A, B, C, D tienen los siguientes números en sus seis caras:
- A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
- B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
- C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
- D: 5, 5, 5, 1, 1, 1
Probabilidades
Cada dado es superado por el anterior en la lista, con una probabilidad de 2/3:
El valor de B es constante; A le gana 2/3 rueda porque cuatro de sus seis caras son más altas.
De manera similar, B vence a C con un 2/3 probabilidad porque solo dos de las caras de C son más altas.
P (C> D) se puede calcular sumando probabilidades condicionales para dos eventos:
- C saca 6 (probabilidad 1/3); gana independientemente de D (probabilidad 1)
- C saca 2 (probabilidad 2/3); gana solo si D saca 1 (probabilidad 1/2)
La probabilidad total de ganar para C es por lo tanto
Con un cálculo similar, la probabilidad de que D gane sobre A es
Mejor dado en general
Los cuatro dados tienen probabilidades desiguales de ganar un dado elegido al azar de los tres restantes:
Como se demostró anteriormente, el A vence a B dos tercios del tiempo, pero vence a D solo un tercio del tiempo. La probabilidad de que muera A derrotando a C es 4/9(A debe sacar 4 y C debe sacar 2). Entonces, la probabilidad de que A venza a cualquier otro dado seleccionado al azar es:
De manera similar, el B vence a C dos tercios del tiempo, pero vence a A solo un tercio del tiempo. La probabilidad de que el B le gane a D es 1/2( solo cuando D saca 1). Entonces, la probabilidad de que B venza a cualquier otro dado seleccionado al azar es:
Die C vence a D dos tercios del tiempo, pero vence a B solo un tercio del tiempo. La probabilidad de que el C le gane a A es 5/9. Entonces, la probabilidad de que C venza a cualquier otro dado seleccionado al azar es:
Finalmente, el D vence a A dos tercios del tiempo pero vence a C solo un tercio del tiempo. La probabilidad de que el D le gane a B es 1/2( solo cuando D saca 5). Entonces, la probabilidad de que D venza a cualquier otro dado seleccionado al azar es:
Por lo tanto, el mejor dado general es C con una probabilidad de ganar de 0.5185. C también arroja el número promedio más alto en términos absolutos, 3+1/3. (El promedio de A es 2+2/3, mientras que B y D son ambos 3.)
Variantes con promedios iguales
Tenga en cuenta que los dados de Efron tienen diferentes tiradas medias : la tirada media de A es 8/3, mientras que B y D promedian 9/3y promedios de C 10/3. La propiedad intransitiva depende de qué caras son más grandes o más pequeñas, pero no depende de la magnitud absoluta de las caras. Por lo tanto, se pueden encontrar variantes de los dados de Efron donde las probabilidades de ganar no cambian, pero todos los dados tienen la misma tirada promedio. Por ejemplo,
- A: 7, 7, 7, 7, 1, 1
- B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
- C: 9, 9, 3, 3, 3, 3
- D: 8, 8, 8, 2, 2, 2
Estos dados de variantes son útiles, por ejemplo, para presentar a los estudiantes diferentes formas de comparar variables aleatorias (y cómo solo la comparación de promedios puede pasar por alto detalles esenciales).
Numerados del 1 al 24 dados
Un juego de cuatro dados con todos los números del 1 al 24 se puede convertir en intransitivo. Con pares adyacentes, la probabilidad de ganar de un dado es 2/3.
Para rodar un número alto, B vence a A, C vence a B, D vence a C, A vence a D.
- A: 1, 2, 16, 17, 18, 19
- B: 3, 4, 5, 20, 21, 22
- C: 6, 7, 8, 9, 23, 24
- D: 10, 11, 12, 13, 14, 15
Relación con los dados de Efron
Estos dados son básicamente los mismos que los de Efron, ya que cada número de una serie de números sucesivos en un solo dado puede ser reemplazado por el número más bajo de la serie y luego renumerarlos.
- A: 1, 2, 16, 17, 18, 19 → 1, 1, 16, 16, 16, 16 → 0, 0, 4, 4, 4, 4
- B: 3, 4, 5, 20, 21, 22 → 3, 3, 3, 20, 20, 20 → 1, 1, 1, 5, 5, 5
- C: 6, 7, 8, 9, 23, 24 → 6, 6, 6, 6, 23, 23 → 2, 2, 2, 2, 6, 6
- D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 → 10, 10, 10, 10, 10, 10 → 3, 3, 3, 3, 3, 3
Los dados de Miwin
Los dados de Miwin fueron inventados en 1975 por el físico Michael Winkelmann.
Considere un conjunto de tres dados, III, IV y V tales que
- el dado III tiene lados 1, 2, 5, 6, 7, 9
- el dado IV tiene lados 1, 3, 4, 5, 8, 9
- el dado V tiene lados 2, 3, 4, 6, 7, 8
Luego:
- la probabilidad de que III saque un número mayor que IV es 17/36
- la probabilidad de que IV saque un número mayor que V es 17/36
- la probabilidad de que V saque un número mayor que III es 17/36
Juego de tres dados con modificaciones mínimas a los dados estándar
Los siguientes dados intransitivos tienen solo algunas diferencias en comparación con los dados estándar de 1 a 6:
- al igual que con los dados estándar, el número total de pips es siempre 21
- Al igual que con los dados estándar, los lados solo llevan números de pip entre 1 y 6
- las caras con el mismo número de pips ocurren un máximo de dos veces por dado
- solo dos lados de cada dado tienen números diferentes de los dados estándar:
- A: 1, 1 , 3, 5 , 5, 6
- B: 2, 3, 3 , 4, 4 , 5
- C: 1, 2, 2 , 4, 6, 6
Al igual que el conjunto de Miwin, la probabilidad de que A gane frente a B (o B frente a C, C frente a A) es 17/36. La probabilidad de empate, sin embargo, es 4/36, de modo que solo 15 de 36 rollos pierden. Entonces, la expectativa general de ganar es mayor.
Warren Buffett
Se sabe que Warren Buffett es un fanático de los dados intransitivos. En el libro Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System que derrotó a los casinos y Wall Street, se describe una discusión entre él y Edward Thorp . Buffett y Thorp hablaron sobre su interés compartido por los dados intransitivos. "Se trata de una curiosidad matemática, un tipo de dados 'trucos' que confunden las ideas de la mayoría de la gente sobre la probabilidad".
Buffett una vez intentó ganar un juego de dados con Bill Gates usando dados intransitivos. "Buffett sugirió que cada uno de ellos eligiera uno de los dados y luego descartara los otros dos. Apostarían quién lanzaría el número más alto con más frecuencia. Buffett se ofreció a dejar que Gates eligiera su dado primero. Esta sugerencia despertó instantáneamente la curiosidad de Gates. pidió examinar los dados, después de lo cual exigió que Buffett eligiera primero ". [5]
En 2010, la revista Wall Street Journal citó a Sharon Osberg, la socia puente de Buffett, diciendo que cuando visitó su oficina por primera vez 20 años antes, él la engañó para que jugara un juego con dados intransitivos que no se podía ganar y "pensó que era gracioso". [6]
Juego de dados intransitivos para más de dos jugadores
Varias personas han introducido variaciones de dados intransitivos en los que se puede competir contra más de un oponente.
Tres jugadores
Dados de Oskar
Oskar van Deventer introdujo un conjunto de siete dados (todas las caras con probabilidad 1/6) como sigue: [7]
- A: 2, 2, 14, 14, 17, 17
- B: 7, 7, 10, 10, 16, 16
- C: 5, 5, 13, 13, 15, 15
- D: 3, 3, 9, 9, 21, 21
- E: 1, 1, 12, 12, 20, 20
- F: 6, 6, 8, 8, 19, 19
- G: 4, 4, 11, 11, 18, 18
Se puede verificar que A vence a {B, C, E}; B vence a {C, D, F}; C gana a {D, E, G}; D gana a {A, E, F}; E vence a {B, F, G}; F late {A, C, G}; G gana a {A, B, D}. En consecuencia, para dos dados elegidos arbitrariamente hay un tercero que gana a ambos. A saber,
- G vence a {A, B}; F late {A, C}; G gana a {A, D}; D gana a {A, E}; D vence a {A, F}; F late {A, G};
- A vence a {B, C}; G gana a {B, D}; A vence a {B, E}; E vence a {B, F}; E vence a {B, G};
- B vence a {C, D}; A vence a {C, E}; B vence a {C, F}; F late {C, G};
- C gana a {D, E}; B vence a {D, F}; C gana a {D, G};
- D gana a {E, F}; C gana a {E, G};
- E vence a {F, G}.
Independientemente de lo que elijan los dos oponentes, el tercer jugador encontrará uno de los dados restantes que supera a los dados de ambos oponentes.
Dados de suciedad
El Dr. James Grime descubrió un conjunto de cinco dados de la siguiente manera: [8]
- A: 2, 2, 2, 7, 7, 7
- B: 1, 1, 6, 6, 6, 6
- C: 0, 5, 5, 5, 5, 5
- D: 4, 4, 4, 4, 4, 9
- E: 3, 3, 3, 3, 8, 8
Se puede verificar que, cuando el juego se juega con un juego de dados Grime:
- A late B late C late D late E late A (primera cadena);
- A le gana a C le gana a E le gana a B le gana a D le gana a A (segunda cadena).
Sin embargo, cuando el juego se juega con dos de estos conjuntos, la primera cadena permanece igual (con una excepción que se comenta más adelante) pero la segunda cadena se invierte (es decir, A vence a D vence a B vence a E vence a C vence a A). En consecuencia, sea cual sea el dado que elijan los dos oponentes, el tercer jugador siempre puede encontrar uno de los dados restantes que los supere a ambos (siempre que el jugador pueda elegir entre la opción de un dado y la opción de dos dados):
Conjuntos elegidos
por los oponentesJuego de dados ganador Tipo Número A B mi 1 A C mi 2 A D C 2 A mi D 1 B C A 1 B D A 2 B mi D 2 C D B 1 C mi B 2 D mi C 1
Sin embargo, hay dos problemas importantes con este conjunto. La primera es que en la opción de dos dados del juego, la primera cadena debe permanecer exactamente igual para que el juego sea intransitivo. En la práctica, sin embargo, D vence a C. El segundo problema es que el tercer jugador tendría que poder elegir entre la opción de un dado y la opción de dos dados, lo que puede ser visto como injusto para otros jugadores.
Dados de suciedad corregidos
El problema anterior de D derrotando a C surge porque los dados tienen 6 caras en lugar de 5. Al reemplazar la cara más baja (o más alta) de cada dado con "volver a tirar" (R), los cinco dados funcionarán exactamente como pretendía el Dr. James Grime. :
- A: R, 2, 2, 7, 7, 7
- B: R, 1, 6, 6, 6, 6
- C: R, 5, 5, 5, 5, 5
- D: R, 4, 4, 4, 4, 9
- E: R, 3, 3, 3, 8, 8
Alternativamente, estas caras podrían mapearse en un conjunto de dados pentagonal-trapezoédricos (10 lados), con cada número apareciendo exactamente dos veces, o en un conjunto de dados icosaédricos (20 lados), con cada número apareciendo cuatro veces. Esto elimina la necesidad de una cara "re-roll".
Esta solución fue descubierta por Jon Chambers, un profesor australiano de matemáticas en formación. [ cita requerida ]
Cuatro jugadores
Aún no se ha descubierto un conjunto de cuatro jugadores, pero se demostró que tal conjunto requeriría al menos 19 dados. [8] [9]
Dados intransitivos de 4 caras
Los tetraedros se pueden utilizar como dados con cuatro posibles resultados .
- Serie 1
- A: 1, 4, 7, 7
- B: 2, 6, 6, 6
- C: 3, 5, 5, 8
P (A> B) = P (B> C) = P (C> A) = 9/dieciséis
Las siguientes tablas muestran todos los resultados posibles:
B A | 2 | 6 | 6 | 6 |
---|---|---|---|---|
1 | B | B | B | B |
4 | A | B | B | B |
7 | A | A | A | A |
7 | A | A | A | A |
En "A versus B", A gana en 9 de 16 casos.
C B | 3 | 5 | 5 | 8 |
---|---|---|---|---|
2 | C | C | C | C |
6 | B | B | B | C |
6 | B | B | B | C |
6 | B | B | B | C |
En "B versus C", B gana en 9 de 16 casos.
A C | 1 | 4 | 7 | 7 |
---|---|---|---|---|
3 | C | A | A | A |
5 | C | C | A | A |
5 | C | C | A | A |
8 | C | C | C | C |
En "C contra A", C gana en 9 de 16 casos.
- Conjunto 2
- A: 3, 3, 3, 6
- B: 2, 2, 5, 5
- C: 1, 4, 4, 4
P (A> B) = P (B> C) = 10/dieciséis, P (C> A) = 9/16
Dados intransitivos de 12 caras
En analogía con los dados intransitivos de seis caras, también hay dodecaedros que sirven como dados intransitivos de doce caras . Los puntos en cada uno de los dados dan como resultado la suma de 114. No hay números repetitivos en cada uno de los dodecaedros.
Los dodecaedros de Miwin (set 1) ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 35:34.
Los dodecaedros de miwin (conjunto 2) ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 71:67.
Serie 1:
D III | púrpura | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 11 | 14 | 15 | dieciséis | 18 | ||||||
D IV | rojo | 1 | 3 | 4 | 5 | 8 | 9 | 10 | 12 | 13 | 14 | 17 | 18 | ||||||
DV | gris oscuro | 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 8 | 11 | 12 | 13 | 15 | dieciséis | 17 |
D III
D IV
DV
Conjunto 2:
D VI | cian | 1 | 2 | 3 | 4 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 17 | 18 | ||||||
D VII | verde pera | 1 | 2 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | ||||||
D VIII | gris claro | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis |
D VI
D VII
D VIII
Dados intransitivos de 12 caras numerados primos
También es posible construir conjuntos de dodecaedros intransitivos de modo que no haya números repetidos y todos los números sean primos. Los dodecaedros primos intransitivos de Miwin ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 35:34.
Conjunto 1: los números suman 564.
PD 11 | gris a azul | 13 | 17 | 29 | 31 | 37 | 43 | 47 | 53 | 67 | 71 | 73 | 83 |
PD 12 | gris a rojo | 13 | 19 | 23 | 29 | 41 | 43 | 47 | 59 | 61 | 67 | 79 | 83 |
PD 13 | gris a verde | 17 | 19 | 23 | 31 | 37 | 41 | 53 | 59 | 61 | 71 | 73 | 79 |
PD 11
PD 12
PD 13
Conjunto 2: los números suman 468.
PD 1 | oliva a azul | 7 | 11 | 19 | 23 | 29 | 37 | 43 | 47 | 53 | 61 | 67 | 71 |
PD 2 | verde azulado a rojo | 7 | 13 | 17 | 19 | 31 | 37 | 41 | 43 | 59 | 61 | 67 | 73 |
PD 3 | morado a verde | 11 | 13 | 17 | 23 | 29 | 31 | 41 | 47 | 53 | 59 | 71 | 73 |
PD 1
PD 2
PD 3
Ver también
- Juegos de blotto
- Algoritmo de Freivalds
- Juego no transitivo
- La paradoja del voto de Condorcet
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Dados de Efron" . Wolfram MathWorld . Consultado el 12 de enero de 2021 .
- ^ Bogomolny, Alexander . "Dados no transitivos" . Corta el nudo . Archivado desde el original el 12 de enero de 2016.
- ^ Savage, Richard P. (mayo de 1994). "La paradoja de los dados no transitivos" . The American Mathematical Monthly . 101 (5): 429–436. doi : 10.2307 / 2974903 . JSTOR 2974903 .
- ^ Rump, Christopher M. (junio de 2001). "Estrategias para lanzar los dados Efron" . Revista de Matemáticas . 74 (3): 212–216. doi : 10.2307 / 2690722 . JSTOR 2690722 . Consultado el 12 de enero de 2021 .
- ^ Bill Gates ; Janet Lowe (14 de octubre de 1998). Habla Bill Gates: conocimiento del mayor emprendedor del mundo . Nueva York: Wiley. ISBN 9780471293538. Consultado el 29 de noviembre de 2011 .
- ^ "Como un matrimonio, solo que más duradero" . Yahoo! Finanzas . El Wall Street Journal . 2010-12-06. Archivado desde el original el 10 de diciembre de 2010 . Consultado el 29 de noviembre de 2011 .
- ^ Pegg, Ed Jr. (11 de julio de 2005). "Dados de torneo" . Juegos de matemáticas . Asociación Matemática de América . Archivado desde el original el 4 de agosto de 2005 . Consultado el 6 de julio de 2012 .
- ^ a b Grime, James. "Dados no transitivos" . Archivado desde el original el 14 de mayo de 2016.
- ^ Reid, Kenneth; McRae, AA; Hedetniemi, SM; Hedetniemi, Stephen (1 de enero de 2004). "Dominación e irredundancia en los torneos" . The Australasian Journal of Combinatorics [solo en formato electrónico] . 29 .
Fuentes
- Gardner, Martin (2001). El colosal libro de matemáticas: rompecabezas clásicos, paradojas y problemas: teoría de números, álgebra, geometría, probabilidad, topología, teoría de juegos, infinito y otros temas de matemáticas recreativas (1ª ed.). Nueva York: WW Norton & Company. pag. 286 –311.[ Falta el ISBN ]
- Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln (en alemán). Bildungsverlag Lemberger. ISBN 978-3-85221-531-0.
enlaces externos
- Página MathWorld
- MathTrek de Ivars Peterson - Tricky Dice Revisited (15 de abril de 2002)
- Página de rompecabezas de Jim Loy
- Sitio oficial de Miwin (alemán)
- Buscador de dados no transitivo de código abierto
- Dados no transitivos de James Grime
- mgf.winkelmann Miwins intransitivo Dodekaeder
- Equipo de matemáticas
- Conrey, B., Gabbard, J., Grant, K., Liu, A. y Morrison, K. (2016). Dados intransitivos. Revista de matemáticas, 89 (2), 133-143. Otorgado por la Asociación Matemática de América
- Timoteo Gowers ' proyecto en los dados intransitivos