La paradoja de Condorcet (también conocida como la paradoja del voto o la paradoja del voto ) en la teoría de la elección social es una situación señalada por el Marqués de Condorcet a finales del siglo XVIII, [1] [2] [3] en la que las preferencias colectivas pueden ser cíclico, incluso si las preferencias de los votantes individuales no son cíclicas. Esto es paradójico , porque significa que los deseos de la mayoría pueden estar en conflicto entre sí: las mayorías prefieren, por ejemplo, el candidato A sobre B, B sobre C y, sin embargo, C sobre A. Cuando esto ocurre, es porque las mayorías en conflicto son cada uno compuesto por diferentes grupos de individuos.
Por tanto, la expectativa de que la transitividad por parte de las preferencias de todos los individuos resulte en la transitividad de las preferencias sociales es un ejemplo de una falacia de composición .
La paradoja fue descubierta independientemente por Lewis Carroll y Edward J. Nanson , pero su importancia no fue reconocida hasta que Duncan Black la popularizó en la década de 1940. [4]
Ejemplo
Suponga que tenemos tres candidatos, A, B y C, y que hay tres votantes con las siguientes preferencias (los candidatos se enumeran de izquierda a derecha para cada votante en orden decreciente de preferencia):
Votante | Primera preferencia | Segunda preferencia | Tercera preferencia |
---|---|---|---|
Votante 1 | A | B | C |
Votante 2 | B | C | A |
Votante 3 | C | A | B |
Si se elige a C como ganador, se puede argumentar que B debería ganar en su lugar, ya que dos votantes (1 y 2) prefieren B a C y solo un votante (3) prefiere C a B. Sin embargo, según el mismo argumento, A es se prefiere a B, y se prefiere C a A, por un margen de dos a uno en cada ocasión. Por lo tanto, las preferencias de la sociedad muestran el ciclo: se prefiere A sobre B, que se prefiere a C, que se prefiere a A.Una característica paradójica de las relaciones entre las preferencias de los votantes descritas anteriormente es que, aunque la mayoría de los votantes están de acuerdo en que A es preferible a B, B a C, y C a A, los tres coeficientes de correlación de rango entre las preferencias de dos votantes son negativos (es decir, –.5), como se calcula con la fórmula del coeficiente de correlación de rango de Spearman diseñada por Charles Spearman mucho más tarde. [5]
Calificaciones cardinales
Tenga en cuenta que en el ejemplo gráfico, los votantes y los candidatos no son simétricos, pero el sistema de votación clasificado "aplana" sus preferencias en un ciclo simétrico. [6] Los sistemas de votación cardinal brindan más información que las clasificaciones, lo que permite encontrar un ganador. [7] [8] Por ejemplo, en la votación por puntuación , las papeletas podrían ser: [9]
A | B | C | |
---|---|---|---|
1 | 6 | 3 | 0 |
2 | 0 | 6 | 1 |
3 | 5 | 0 | 6 |
Total: | 11 | 9 | 7 |
El candidato A obtiene la puntuación más alta y es el ganador, ya que A es el más cercano a todos los votantes. Sin embargo, la mayoría de los votantes tiene un incentivo para darle a A un 0 y a C un 10, lo que permite que C le gane a A, lo que ellos prefieren, momento en el que la mayoría tendrá un incentivo para darle a C un 0 y B un 10, para hacer que B gane, etc. (En este ejemplo en particular, sin embargo, el incentivo es débil, ya que aquellos que prefieren C a A solo obtienen C 1 punto por encima de A; en un método clasificado de Condorcet, es muy posible que simplemente clasifiquen igualmente A y C debido a lo débil que es su preferencia, en cuyo caso no se habría formado un ciclo de Condorcet en primer lugar, y A habría sido el ganador de Condorcet). Entonces, aunque el ciclo no ocurre en ningún conjunto dado de votos, puede aparecer a través de elecciones repetidas con votantes estratégicos con calificaciones cardinales.
Condición necesaria para la paradoja
Suponga que x es la fracción de votantes que prefieren A sobre B y que y es la fracción de votantes que prefieren B sobre C. Se ha demostrado [10] que la fracción z de votantes que prefieren A sobre C es siempre al menos ( x + y - 1). Dado que la paradoja (una mayoría que prefiere C sobre A) requiere z <1/2, una condición necesaria para la paradoja es que
Probabilidad de la paradoja
Es posible estimar la probabilidad de la paradoja extrapolando datos electorales reales o utilizando modelos matemáticos de comportamiento de los votantes, aunque los resultados dependen en gran medida del modelo que se utilice. En particular, Andranik Tangian ha demostrado que la probabilidad de la paradoja de Condorcet es insignificante en una sociedad grande. [11] [12]
Modelo de cultura imparcial
Podemos calcular la probabilidad de ver la paradoja para el caso especial en el que las preferencias de los votantes se distribuyen uniformemente entre los candidatos. (Este es el modelo de " cultura imparcial ", que se sabe que no es realista, [13] [14] [15] : 40 por lo que, en la práctica, una paradoja de Condorcet puede ser más o menos probable que este cálculo. [16] : 320 [17] )
Para votantes que proporcionan una lista de preferencias de tres candidatos A, B, C, escribimos (resp. , ) la variable aleatoria igual al número de votantes que colocaron A delante de B (respectivamente B delante de C, C delante de A). La probabilidad buscada es(doblamos porque también existe el caso simétrico A> C> B> A). Te lo mostramos, por extraño, dónde lo que hace que uno necesite conocer sólo la distribución conjunta de y .
Si ponemos , mostramos la relación que permite calcular esta distribución por recurrencia: .
Entonces se obtienen los siguientes resultados:
3 | 101 | 201 | 301 | 401 | 501 | 601 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
5,556% | 8,690% | 8,732% | 8,746% | 8,753% | 8,757% | 8,760% |
La secuencia parece tender hacia un límite finito.
Usando el teorema del límite central , mostramos que tiende a dónde es una variable que sigue una distribución de Cauchy , que da(constante cotizada en la OEIS ).
Por tanto, la probabilidad asintótica de encontrar la paradoja de Condorcet es lo que da el valor 8,77%.
Se han calculado algunos resultados para el caso de más de tres objetos. [18]
Modelos de coherencia grupal
Cuando se modela con preferencias de votantes más realistas, las paradojas de Condorcet en elecciones con un pequeño número de candidatos y un gran número de votantes se vuelven muy raras. [15] : 78
Estudios empíricos
Se han hecho muchos intentos para encontrar ejemplos empíricos de la paradoja. [19]
Un resumen de 37 estudios individuales, que cubren un total de 265 elecciones del mundo real, grandes y pequeñas, encontró 25 casos de una paradoja de Condorcet, para una probabilidad total del 9,4% [16] : 325 (y esto puede ser una estimación alta, ya que es más probable que se informe sobre los casos de la paradoja que sobre los casos sin ellos). [15] : 47 Por otro lado, la identificación empírica de una paradoja de Condorcet presupone una gran cantidad de datos sobre las preferencias de los responsables de la toma de decisiones sobre todas las alternativas, algo que muy pocas veces está disponible.
Si bien los ejemplos de la paradoja parecen ocurrir ocasionalmente en entornos pequeños (por ejemplo, parlamentos), se han encontrado muy pocos ejemplos en grupos más grandes (por ejemplo, electorados), aunque se han identificado algunos. [20]
Trascendencia
Cuando se utiliza un método de Condorcet para determinar una elección, la paradoja del voto de las preferencias cíclicas de la sociedad implica que la elección no tiene un ganador de Condorcet : ningún candidato que pueda ganar una elección uno a uno contra los demás candidatos. Sin embargo, todavía habrá un grupo más pequeño de candidatos, de modo que cada candidato en el grupo pueda ganar una elección uno a uno contra otro candidato, lo que se conoce como el conjunto Smith . Las diversas variantes del método Condorcet difieren en cómo resuelven tales ambigüedades cuando surgen para determinar un ganador. [21] Los métodos de Condorcet que siempre eligen a alguien del conjunto de Smith cuando no hay un ganador de Condorcet se conocen como Smith-eficientes . Tenga en cuenta que si se utilizan solo clasificaciones, no existe una resolución justa y determinista para el ejemplo trivial dado anteriormente porque cada candidato se encuentra en una situación exactamente simétrica.
Las situaciones que tienen la paradoja de la votación pueden hacer que los mecanismos de votación violen el axioma de independencia de las alternativas irrelevantes: la elección del ganador por medio de un mecanismo de votación podría verse influenciada por si un candidato perdedor está disponible para ser votado o no.
Contrariamente a una opinión generalizada promovida entre otros por Élisabeth Badinter y Robert Badinter (en su biografía de Condorcet), esta paradoja cuestiona solo la coherencia de ciertos sistemas de votación y no la de la democracia en sí.
Procesos de votación en dos etapas
Una implicación importante de la posible existencia de la paradoja de la votación en una situación práctica es que en un proceso de votación de dos etapas, el eventual ganador puede depender de la forma en que se estructuran las dos etapas. Por ejemplo, supongamos que el ganador de A contra B en la contienda primaria abierta por el liderazgo de un partido se enfrentará al líder del segundo partido, C, en las elecciones generales. En el ejemplo anterior, A derrotaría a B por la nominación del primer partido y luego perdería ante C en las elecciones generales. Pero si B estuviera en el segundo partido en lugar del primero, B derrotaría a C por la nominación de ese partido y luego perdería ante A en las elecciones generales. Por lo tanto, la estructura de las dos etapas marca la diferencia para que A o C sea el ganador final.
Asimismo, la estructura de una secuencia de votaciones en una legislatura puede ser manipulada por la persona que organiza las votaciones, para asegurar un resultado preferido.
La estructura de la paradoja de Condorcet se puede reproducir en dispositivos mecánicos que demuestran intransibilidad de relaciones como "rotar más rápido que", "levantar y no ser elevado", "ser más fuerte que" en algunas construcciones geométricas. [22]
Ver también
- Teorema de imposibilidad de Arrow
- Kenneth Arrow , sección con un ejemplo de una dificultad distributiva de intransitividad + regla de la mayoría
- Dilema discursivo
- Teorema de Gibbard-Satterthwaite
- Independencia de alternativas irrelevantes
- Votación de segunda vuelta instantánea
- Número de Nakamura
- Voto cuadrático
- Piedra Papel tijeras
- La paradoja de Simpson
- Smith conjunto
Referencias
- ^ Marqués de Condorcet . "Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix" (PNG) (en francés) . Consultado el 10 de marzo de 2008 .
- ^ Condorcet, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat; Sommerlad, Fiona; McLean, Iain (1 de enero de 1989). La teoría política de Condorcet . Oxford: Universidad de Oxford, Facultad de Estudios Sociales. págs. 69–80, 152–166. OCLC 20408445 .
Claramente, si el voto de alguien fuera contradictorio (tener preferencias cíclicas), habría que descartarlo y, por lo tanto, deberíamos establecer una forma de voto que imposibilite tales absurdos.
- ^ Gehrlein, William V. (2002). "La paradoja de Condorcet y la probabilidad de que ocurra: diferentes perspectivas sobre preferencias equilibradas *". Teoría y Decisión . 52 (2): 171-199. doi : 10.1023 / A: 1015551010381 . ISSN 0040-5833 . S2CID 118143928 .
Aquí, Condorcet señala que tenemos un "sistema contradictorio" que representa lo que ha llegado a conocerse como la paradoja de Condorcet.
- ^ Riker, William Harrison. (mil novecientos ochenta y dos). Liberalismo contra populismo: un enfrentamiento entre la teoría de la democracia y la teoría de la elección social . Waveland Pr. pag. 2. ISBN 0881333670. OCLC 316034736 .
- ^ Poddiakov, A. y Valsiner, J. (2013). "Ciclos de intransitividad y sus transformaciones: cómo funcionan los sistemas de adaptación dinámica". En L. Rudolph (Ed.), Matemáticas cualitativas para las ciencias sociales: modelos matemáticos para la investigación de la dinámica cultural (págs. 343–391). Abingdon, Nueva York: Routledge.
- ^ Procaccia, Ariel D .; Rosenschein, Jeffrey S. (11 de septiembre de 2006). Klusch, Matthias; Rovatsos, Michael; Payne, Terry R. (eds.). La distorsión de las preferencias cardinales en la votación (PDF) . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. Springer Berlín Heidelberg. págs. 317–331. CiteSeerX 10.1.1.113.2486 . doi : 10.1007 / 11839354_23 . ISBN 9783540385691.
Las preferencias cardinales (basadas en la utilidad) de los agentes están incrustadas en el espacio de las preferencias ordinales. Esto a menudo da lugar a una distorsión en las preferencias y, por tanto, en el bienestar social del resultado.
- ^ Poundstone, William (2008). Jugar al voto: por qué las elecciones no son justas (y qué podemos hacer al respecto) . Hill y Wang. pag. 158. ISBN 978-0809048922. OCLC 276908223 .
Este es el problema fundamental de las comparaciones bidireccionales. No se tienen en cuenta los grados de preferencia. ... Los ciclos resultan de dar igual peso a preferencias desiguales. ... La paradoja oculta el hecho de que los votantes realmente prefieren una opción.
- ^ Kok, Jan; Shentrup, Clay; Smith, Warren. "Ciclos de Condorcet" . RangeVoting.org . Consultado el 9 de febrero de 2017 .
... cualquier método basado solo en votos por orden de clasificación, falla estrepitosamente. La votación por rango, que permite a los votantes expresar la fuerza de sus preferencias, presumiblemente lograría elegir la mejor A mayúscula.
- ^ En este ejemplo, los puntajes disponibles son de 0 a 6, y cada votante normaliza sus puntajes máximos / mínimos a este rango, mientras selecciona un puntaje para el medio que es proporcional a la distancia.
- ^ Plata, Charles. "La paradoja de la votación", The Mathematical Gazette 76, noviembre de 1992, 387–388.
- ^ Tangian, Andranik (2000). "La improbabilidad de la paradoja de Condorcet en una sociedad grande". Elección social y bienestar . 17 (2): 337–365. doi : 10.1007 / s003550050024 .
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es ampliamente reconocido que la cultura imparcial no es realista ... la cultura imparcial es el peor de los casos
- ^ Tideman, T; Plassmann, Florenz (junio de 2008). "La fuente de los resultados de las elecciones: un análisis empírico de modelos estadísticos de comportamiento de los votantes" .
Los teóricos del voto generalmente reconocen que consideran que este modelo es poco realista
Cite journal requiere|journal=
( ayuda ) - ^ a b c Gehrlein, William V .; Lepelley, Dominique (2011). Paradojas del voto y coherencia grupal: la eficacia condorcet de las reglas de voto . Berlín: Springer. doi : 10.1007 / 978-3-642-03107-6 . ISBN 9783642031076. OCLC 695387286 .
la mayoría de los resultados electorales no se corresponden con nada parecido a los de DC, IC, IAC o MC ... los estudios empíricos ... indican que es relativamente poco probable que se observen algunas de las paradojas más comunes en las elecciones reales. ... se concluye fácilmente que la paradoja de Condorcet rara vez debería observarse en elecciones reales en un pequeño número de candidatos con un electorado grande, siempre que las preferencias de los votantes reflejen algún grado razonable de coherencia mutua grupal.
- ^ a b Van Deemen, Adrian (2014). "Sobre la relevancia empírica de la paradoja de Condorcet". Elección pública . 158 (3–4): 311–330. doi : 10.1007 / s11127-013-0133-3 . ISSN 0048-5829 . S2CID 154862595 .
pequeñas desviaciones del supuesto de cultura imparcial pueden conducir a grandes cambios en la probabilidad de la paradoja. Puede conducir a grandes caídas o, al contrario, a grandes aumentos.
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Hay muchos métodos Condorcet, que varían principalmente en la forma en que tratan los empates, que son muy comunes cuando no existe un ganador Condorcet.
- ↑ Poddiakov, AlexanderPoddiakov, Alexander (2018). "Máquinas intransitivas". arXiv : 1809.03869 [ matemáticas.HO ].
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