En matemáticas , en los campos del álgebra multilineal y la teoría de la representación , los principales invariantes del tensor de segundo rango son los coeficientes del polinomio característico [1]
- ,
dónde es el operador de identidad y representan los valores propios del polinomio .
En términos más generales, cualquier función con valor escalar es un invariante de si y solo si para todo ortogonal . Esto significa que una fórmula que expresa un invariante en términos de componentes,, dará el mismo resultado para todas las bases cartesianas. Por ejemplo, aunque los componentes diagonales individuales de cambiará con un cambio en la base, la suma de los componentes diagonales no cambiará.
Propiedades
Los principales invariantes no cambian con las rotaciones del sistema de coordenadas (son objetivos, o en terminología más moderna, satisfacen el principio de indiferencia del marco material ) y cualquier función de los principales invariantes también es objetiva.
Cálculo de los invariantes de tensores de rango dos
En la mayoría de las aplicaciones de ingeniería , se buscan los principales invariantes de (rango dos) tensores de dimensión tres, como los del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho .
Invariantes principales
Para tales tensores, las principales invariantes vienen dadas por:
Para tensores simétricos, estas definiciones se reducen. [2]
La correspondencia entre los principales invariantes y el polinomio característico de un tensor, junto con el teorema de Cayley-Hamilton, revela que
dónde es el tensor de identidad de segundo orden.
Principales invariantes
Además de los principales invariantes enumerados anteriormente, también es posible introducir la noción de principales invariantes [3] [4]
que son funciones de los principales invariantes anteriores.
Invariantes mixtos
Además, también se pueden definir invariantes mixtos entre pares de tensores de rango dos. [4]
Cálculo de las invariantes de orden dos tensores de mayor dimensión
Estos se pueden extraer evaluando el polinomio característico directamente, utilizando el algoritmo de Faddeev-LeVerrier, por ejemplo.
Cálculo de las invariantes de tensores de orden superior.
También se pueden determinar los invariantes de tensores de rango tres, cuatro y de orden superior. [5]
Aplicaciones de ingeniería
Una función escalar que depende enteramente de las principales invariantes de un tensor es objetivo, es decir, independiente de las rotaciones del sistema de coordenadas. Esta propiedad se usa comúnmente en la formulación de expresiones de forma cerrada para la densidad de energía de deformación , o energía libre de Helmholtz , de un material no lineal que posee simetría isotrópica. [6]
Esta técnica fue introducida por primera vez en la turbulencia isotrópica por Howard P. Robertson en 1940, donde pudo derivar la ecuación de Kármán-Howarth a partir del principio invariante. [7] George Batchelor y Subrahmanyan Chandrasekhar explotaron esta técnica y desarrollaron un tratamiento extendido para la turbulencia axisimétrica. [8] [9] [10]
Invariantes de tensores no simétricos
Un verdadero tensor en 3D (es decir, uno con una matriz de componentes de 3x3) tiene hasta seis invariantes independientes, tres son los invariantes de su parte simétrica y tres caracterizan la orientación del vector axial de la parte sesgada-simétrica con respecto a las direcciones principales de la parte simétrica. Por ejemplo, si los componentes cartesianos de están
el primer paso sería evaluar el vector axial asociado con la parte simétrica sesgada. Específicamente, el vector axial tiene componentes
El siguiente paso encuentra los valores principales de la parte simétrica de . Aunque los valores propios de un tensor no simétrico real pueden ser complejos, los valores propios de su parte simétrica siempre serán reales y, por lo tanto, pueden ordenarse de mayor a menor. A las direcciones de base principales ortonormales correspondientes se les pueden asignar sentidos para asegurar que el vector axialpuntos dentro del primer octante. Con respecto a esa base especial, los componentes de están
Los primeros tres invariantes de son los componentes diagonales de esta matriz: (igual a los valores principales ordenados de la parte simétrica del tensor). Los tres invariantes restantes son los componentes del vector axial en esta base:. Nota: la magnitud del vector axial,, es el único invariante de la parte sesgada de , mientras que estos tres distintos invariantes caracterizan (en cierto sentido) la "alineación" entre las partes simétricas y sesgadas de . Por cierto, es un mito que un tensor es positivo definido si sus valores propios son positivos. En cambio, es positivo definido si y solo si los valores propios de su parte simétrica son positivos.
Ver también
Referencias
- ^ Spencer, AJM (1980). Mecánica continua . Longman. ISBN 0-582-44282-6.
- ^ Kelly, PA. "Notas de la conferencia: una introducción a la mecánica de sólidos" (PDF) . Consultado el 27 de mayo de 2018 .
- ^ Kindlmann, G. "Tensor invariantes y sus gradientes" (PDF) . Consultado el 24 de enero de 2019 .
- ^ a b Schröder, Jörg; Neff, Patrizio (2010). Convexidad poli, cuasi y de rango uno en mecánica aplicada . Saltador.
- ^ Betten, J. (1987). "Invariantes irreductibles de tensores de cuarto orden" . Modelado matemático . 8 : 29–33. doi : 10.1016 / 0270-0255 (87) 90535-5 .
- ^ Ogden, RW (1984). Deformaciones elásticas no lineales . Dover.
- ^ Robertson, HP (1940). "La teoría invariable de la turbulencia isotrópica". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. 36 (2): 209-223. Código Bibliográfico : 1940PCPS ... 36..209R . doi : 10.1017 / S0305004100017199 .
- ^ Batchelor, GK (1946). "La teoría de la turbulencia axisimétrica" . Proc. R. Soc. Lond. Una . 186 (1007): 480–502. Código bibliográfico : 1946RSPSA.186..480B . doi : 10.1098 / rspa.1946.0060 .
- ^ Chandrasekhar, S. (1950). "La teoría de la turbulencia axisimétrica". Transacciones filosóficas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas y de la ingeniería . 242 (855): 557–577. Código bibliográfico : 1950RSPTA.242..557C . doi : 10.1098 / rsta.1950.0010 . S2CID 123358727 .
- ^ Chandrasekhar, S. (1950). "La decadencia de la turbulencia axisimétrica". Proc. Roy. Soc. Una . 203 (1074): 358–364. Código bibliográfico : 1950RSPSA.203..358C . doi : 10.1098 / rspa.1950.0143 . S2CID 121178989 .