Transformación de inversión

En física matemática, las transformaciones de inversión son una extensión natural de las transformaciones de Poincaré para incluir todas las transformaciones conformes uno a uno en el espacio-tiempo de coordenadas . ^{[1] [2]} Están menos estudiados en física porque a diferencia de las rotaciones y traslaciones de la simetría de Poincaré, un objeto no puede ser transformado físicamente por la simetría de inversión. Algunas teorías físicas son invariantes bajo esta simetría, en estos casos es lo que se conoce como 'simetría oculta'. Otras simetrías ocultas de la física incluyen la simetría de calibre y la covarianza general .

Uso temprano

En 1831 el matemático Ludwig Immanuel Magnus comenzó a publicar en transformaciones del plano generado por inversión en un círculo de radio R . Su trabajo inició un gran cuerpo de publicaciones, ahora llamado geometría inversa . El matemático más destacado se convirtió en August Ferdinand Möbius una vez que redujo las transformaciones planas a aritmética de números complejos . En compañía de los físicos que emplearon la transformación de inversión desde el principio estaba Lord Kelvin , y la asociación con él lleva a que se la llame transformada de Kelvin .

Transformación en coordenadas

A continuación, usaremos el tiempo imaginario (${\displaystyle t'=it}$) de modo que el espacio-tiempo es euclidiano y las ecuaciones son más simples. Las transformaciones de Poincaré están dadas por la transformación de coordenadas en el espacio-tiempo parametrizado por los 4 vectores  V

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,}$

donde ${\displaystyle O}$es una matriz ortogonal y${\displaystyle P}$es un 4-vector. Al aplicar esta transformación dos veces en un 4-vector se obtiene una tercera transformación de la misma forma. El invariante de base en virtud de esta transformación es la longitud de espacio-tiempo dado por la distancia entre dos de espacio-tiempo puntos dados por 4-vectores x y  y :

${\displaystyle r=|x-y|.\,}$

Estas transformaciones son subgrupos de transformaciones conformes generales 1-1 en el espacio-tiempo. Es posible extender estas transformaciones para incluir todas las transformaciones conformes 1-1 en el espacio-tiempo.

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.}$

También debemos tener una condición equivalente a la condición de ortogonalidad de las transformaciones de Poincaré:

${\displaystyle AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,}$

Porque uno puede dividir la parte superior e inferior de la transformación por ${\displaystyle D,}$ no perdemos generalidad al establecer ${\displaystyle D}$a la matriz unitaria. Terminamos con

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _{\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,}$

Aplicar esta transformación dos veces en un 4-vector da una transformación de la misma forma. La nueva simetría de 'inversión' viene dada por el 3-tensor${\displaystyle Q.}$ Esta simetría se convierte en simetría de Poincaré si establecemos ${\displaystyle Q=0.}$ Cuándo ${\displaystyle Q=0}$ la segunda condición requiere que ${\displaystyle O}$es una matriz ortogonal. Esta transformación es 1-1, lo que significa que cada punto se asigna a un punto único solo si teóricamente incluimos los puntos en el infinito.

Invariantes

Se desconocen los invariantes para esta simetría en 4 dimensiones, sin embargo, se sabe que el invariante requiere un mínimo de 4 puntos espacio-temporales. En una dimensión, el invariante es la relación cruzada bien conocida de las transformaciones de Möbius :

${\displaystyle {\frac {(x-X)(y-Y)}{(x-Y)(y-X)}}.}$

Debido a que las únicas invariantes bajo esta simetría involucran un mínimo de 4 puntos, esta simetría no puede ser una simetría de la teoría de partículas puntuales. La teoría de partículas puntuales se basa en conocer las longitudes de las trayectorias de las partículas a través del espacio-tiempo (por ejemplo, desde${\displaystyle x}$ para ${\displaystyle y}$). La simetría puede ser una simetría de una teoría de cuerdas en la que las cuerdas están determinadas de forma única por sus puntos finales. El propagador de esta teoría para una cadena que comienza en los puntos finales${\displaystyle (x,X)}$ y terminando en los puntos finales ${\displaystyle (y,Y)}$es una función conforme del invariante de 4 dimensiones. Un campo de cadena en la teoría de cadenas de puntos finales es una función sobre los puntos finales.

${\displaystyle \phi (x,X).\,}$

Evidencia física

Aunque es natural generalizar las transformaciones de Poincaré para encontrar simetrías ocultas en la física y así reducir el número de posibles teorías de la física de altas energías , es difícil examinar experimentalmente esta simetría ya que no es posible transformar un objeto bajo esta simetría. La evidencia indirecta de esta simetría viene dada por la precisión con la que las teorías fundamentales de la física que son invariantes bajo esta simetría hacen predicciones. Otra evidencia indirecta es si las teorías que son invariantes bajo esta simetría conducen a contradicciones como dar probabilidades mayores que 1. Hasta ahora no ha habido evidencia directa de que los constituyentes fundamentales del Universo sean cuerdas. La simetría también podría ser una simetría rota. lo que significa que, aunque es una simetría de la física, el Universo se ha "congelado" en una dirección particular, por lo que esta simetría ya no es evidente.

Ver también

• Grupo de rotación SO (3)
• Coordinar rotaciones y reflexiones
• Simetrías del espacio-tiempo
• Simetría CPT
• Campo (física)
• supercuerdas

Referencias

1. "Capítulo 5 Inversión" (PDF) .
2. "EL MODELO DE DISCO POINCARE DE GEOMETRÍA HIPERBÓLICA" (PDF) .