En probabilidad y estadística , la distribución de Irwin-Hall , llamada así por Joseph Oscar Irwin y Philip Hall , es una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida como la suma de varias variables aleatorias independientes , cada una de las cuales tiene una distribución uniforme . [1] Por esta razón también se conoce como distribución de suma uniforme .
Función de densidad de probabilidad | |||
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | n ∈ N 0 | ||
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Apoyo | |||
CDF | |||
Significar | |||
Mediana | |||
Modo | |||
Diferencia | |||
Oblicuidad | 0 | ||
Ex. curtosis | |||
MGF | |||
CF |
La generación de números pseudoaleatorios que tienen una distribución aproximadamente normal se logra a veces calculando la suma de varios números pseudoaleatorios que tienen una distribución uniforme; generalmente en aras de la simplicidad de la programación. El cambio de escala de la distribución de Irwin-Hall proporciona la distribución exacta de las variantes aleatorias que se generan.
Esta distribución a veces se confunde con la distribución de Bates , que es la media (no la suma ) de n variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente de 0 a 1.
Definición
La distribución de Irwin-Hall es la distribución de probabilidad continua para la suma de n variables aleatorias U (0, 1) independientes e idénticamente distribuidas :
La función de densidad de probabilidad (pdf) está dada por
donde sgn ( x - k ) denota la función de signo :
Por lo tanto, el pdf es una spline (función polinomial por partes) de grado n - 1 sobre los nodos 0, 1, ..., n . De hecho, para x entre los nodos ubicados en k y k + 1, la función de densidad de probabilidad es igual a
donde los coeficientes a j ( k , n ) se pueden encontrar a partir de una relación de recurrencia sobre k
Los coeficientes también son A188816 en OEIS . Los coeficientes de la distribución acumulada son A188668 .
Casos especiales
- Para n = 1, X sigue una distribución uniforme :
- Para n = 2, X sigue una distribución triangular :
- Para n = 3,
- Para n = 4,
- Para n = 5,
La distribución de Irwin-Hall es similar a la distribución de Bates , pero aún presenta solo números enteros como parámetro. Es posible una extensión a los parámetros de valor real agregando también una variable uniforme aleatoria con N - trunc ( N ) como ancho.
Ampliaciones de la distribución Irwin-Hall
Cuando se utiliza Irwin-Hall para fines de ajuste de datos, un problema es que el IH no es muy flexible porque el parámetro n debe ser un número entero. Sin embargo, en lugar de sumar n distribuciones uniformes iguales, también podríamos agregar, por ejemplo, U + 0.5 U para abordar también el caso n = 1.5 (dando una distribución trapezoidal).
La distribución de Irwin-Hall tiene una aplicación a la formación de haces y la síntesis de patrones en la Figura 1 de referencia [2] [3]
Ver también
Notas
Referencias
- Hall, Philip . (1927) "La distribución de medias para muestras de tamaño N extraídas de una población en la que la variable toma valores entre 0 y 1, siendo todos estos valores igualmente probables". Biometrika , vol. 19, núm. 3/4., Págs. 240–245. doi : 10.1093 / biomet / 19.3-4.240 JSTOR 2331961
- Irwin, JO (1927) "Sobre la distribución de frecuencia de las medias de las muestras de una población que tiene cualquier ley de frecuencia con momentos finitos, con especial referencia al tipo II de Pearson". Biometrika , vol. 19, núm. 3/4., Págs. 225–239. doi : 10.1093 / Biomet / 19,3-4,225 JSTOR 2331960