Deformación isomonodrómica

En matemáticas , las ecuaciones que gobiernan la deformación isomonodrómica de sistemas lineales meromórficos de ecuaciones diferenciales ordinarias son, en un sentido bastante preciso, las ecuaciones diferenciales no lineales exactas más fundamentales. Como resultado, sus soluciones y propiedades se encuentran en el corazón del campo de la no linealidad exacta y los sistemas integrables .

Las deformaciones isomonodrómicas fueron estudiadas por primera vez por Richard Fuchs , con las primeras contribuciones pioneras de Lazarus Fuchs , Paul Painlevé , René Garnier y Ludwig Schlesinger . Inspirándose en los resultados de la mecánica estadística , Michio Jimbo , Tetsuji Miwa y Kimio Ueno , que estudiaron casos con estructuras de singularidad arbitrarias, hicieron una contribución fundamental a la teoría .

donde la variable independiente x toma valores en la recta proyectiva compleja P ¹ ( C ), la solución y toma valores en C ⁿ y las A _i son matrices constantes n × n . Las soluciones a esta ecuación tienen un crecimiento polinomial en x = λ _i . Al colocar n soluciones de columnas independientes en una matriz fundamental, se puede considerar que se toman valores en GL( n , C $Y=(y_{1},...,y_{n})$ ${\frac{dY}{dx}}=AY$ ${\ estilo de visualización Y}$ ). Para simplificar, suponga que no hay más polos en el infinito, lo que equivale a la condición de que

Ahora, fije un punto base b en la esfera de Riemann lejos de los polos. La continuación analítica de una solución fundamental alrededor de cualquier polo λ _i y de regreso al punto base producirá una nueva solución definida cerca de b . Las soluciones nueva y antigua están unidas por la matriz monodrómica M _i de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización Y_ {1}}$ ${\ estilo de visualización Y_ {2}}$

Por lo tanto, se tiene el homomorfismo de Riemann-Hilbert del grupo fundamental de la esfera perforada a la representación monodrómica:

Un cambio de punto de base simplemente da como resultado una conjugación (simultánea) de todas las matrices monodrómicas. Las matrices monodrómicas módulo conjugación simultánea definen los datos monodrómicos del sistema fucsia.