Definición
Trabajamos en tres dimensiones, con definiciones similares que se sostienen en cualquier otro número de dimensiones. En tres dimensiones, una forma del tipo
se llama forma diferencial . Esta forma se llama exacta en un dominioen el espacio si existe alguna función escalar definido en tal que
-
a lo largo de D. Esto equivale a decir que el campo vectorial es un campo vectorial conservador , con el potencial correspondiente.
- Nota: Los subíndices fuera del paréntesis indican qué variables se mantienen constantes durante la diferenciación. Debido a la definición de derivada parcial , estos subíndices no son obligatorios, pero se incluyen como recordatorio.
Una dimensión
En una dimensión, una forma diferencial
es exacto siempre que tiene una antiderivada (pero no necesariamente una en términos de funciones elementales). Si tiene una antiderivada, deja ser una antiderivada de y esto satisface la condición de exactitud. Sino no tienen una primitiva, no podemos escribir y entonces la forma diferencial es inexacta.
Dos y tres dimensiones
Por simetría de segundas derivadas , para cualquier función de "buen comportamiento" (no patológica ), tenemos
Por lo tanto, se deduce que en una región R del plano xy , simplemente conectada , un diferencial
es un diferencial exacto si y solo si se cumple lo siguiente:
Para tres dimensiones, un diferencial
es un diferencial exacto en una región R simplemente conectada del sistema de coordenadas xyz si entre las funciones A , B y C existen las relaciones:
- ; ;
Estas condiciones son equivalentes a la siguiente: Si G es la gráfica de esta función de valor vectorial entonces para todos los vectores tangentes X , Y de la superficie G entonces s ( X , Y ) = 0 con s la forma simpléctica .
Estas condiciones, fáciles de generalizar, surgen de la independencia del orden de diferenciaciones en el cálculo de las segundas derivadas. Entonces, para que un diferencial dQ , que es una función de cuatro variables, sea un diferencial exacto, hay que satisfacer seis condiciones.
En resumen, cuando un diferencial dQ es exacto:
- la función Q existe;
- independiente del camino seguido.
En termodinámica , cuando dQ es exacta, la función Q es una función de estado del sistema. Las funciones termodinámicas U , S , H , A y G son funciones de estado . Generalmente, ni el trabajo ni el calor son funciones del estado. Un diferencial exacto a veces también se denomina "diferencial total" o "diferencial total" o, en el estudio de la geometría diferencial , se denomina forma exacta .
Si tres variables, , y están sujetos a la condición para alguna función diferenciable , entonces existen los siguientes diferenciales totales [1] : 667 y 669
Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y reordenando, obtenemos [1] : 669
Desde y son variables independientes, y se puede elegir sin restricción. Para que esta última ecuación se mantenga en general, los términos entre corchetes deben ser iguales a cero. [1] : 669
Relación de reciprocidad
Establecer el primer término entre paréntesis igual a cero rendimientos [1]
Un ligero reordenamiento da una relación de reciprocidad, [1] : 670
Hay dos permutaciones más de la derivación anterior que dan un total de tres relaciones de reciprocidad entre, y . Las relaciones de reciprocidad muestran que la inversa de una derivada parcial es igual a su recíproca.
Relación cíclica
La relación cíclica también se conoce como la regla cíclica o la regla del producto triple . Establecer el segundo término entre paréntesis igual a cero produce [1] : 670
Usando una relación de reciprocidad para en esta ecuación y el reordenamiento da una relación cíclica (la regla del triple producto ), [1] : 670
Si, en cambio , una relación de reciprocidad parase utiliza con reordenamiento posterior, se obtiene una forma estándar para la diferenciación implícita :
(Ver también ecuaciones termodinámicas de Bridgman para el uso de diferenciales exactos en la teoría de ecuaciones termodinámicas )
Supongamos que tenemos cinco funciones estatales , y . Suponga que el espacio de estados es bidimensional y que cualquiera de las cinco cantidades son diferenciales exactos. Entonces por la regla de la cadena
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pero también por la regla de la cadena:
| | ( 2 ) |
y
| | ( 3 ) |
así que eso:
| | ( 4 ) |
lo que implica que:
| | ( 5 ) |
Dejando da:
| | ( 6 ) |
Dejando da:
| | ( 7 ) |
Dejando , da:
| | ( 8 ) |
utilizando (da la regla del triple producto :
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