El ortóptico de una hipérbolax 2/un 2 - y 2/b 2= 1 , a > b , es el círculo x 2 + y 2 = a 2 - b 2 (en el caso de a ≤ b no hay tangentes ortogonales, ver más abajo ),
El ortóptico de un astroide x 2 ⁄ 3 + y 2 ⁄ 3 = 1 es un cuadrifolio con la ecuación polar
Una isóptica es el conjunto de puntos para los cuales dos tangentes de una curva dada se encuentran en un ángulo fijo (ver más abajo ).
Una isóptica de dos curvas planas es el conjunto de puntos para los que dos tangentes se encuentran en un ángulo fijo .
Thales' teorema en un acorde PQ puede ser considerado como el orthoptic de dos círculos que se degeneraron a los dos puntos P y Q .
Ortóptico de una parábola
Cualquier parábola se puede transformar mediante un movimiento rígido (los ángulos no se cambian) en una parábola con la ecuación. La pendiente en un punto de la parábola es. Reemplazo da la representación paramétrica de la parábola con la pendiente tangente como parámetro: La tangente tiene la ecuación con lo aún desconocido , que se puede determinar insertando las coordenadas del punto de la parábola. Uno consigue
Si una tangente contiene el punto ( x 0 , y 0 ) , fuera de la parábola, entonces la ecuación
tiene, que tiene dos soluciones m 1 y m 2 correspondientes a las dos tangentes que pasan ( x 0 , y 0 ) . El término libre de una ecuación cuadrática reducida es siempre el producto de sus soluciones. Por tanto, si las tangentes se encuentran en ( x 0 , y 0 ) ortogonalmente, se cumplen las siguientes ecuaciones:
Si una tangente contiene el punto , fuera de la elipse, luego la ecuación
sostiene. Eliminar la raíz cuadrada conduce a
que tiene dos soluciones correspondiente a las dos tangentes que pasan . El término constante de una ecuación cuadrática monica es siempre el producto de sus soluciones. Por tanto, si las tangentes se encuentran en ortogonalmente, se cumplen las siguientes ecuaciones:
Ortópticas (círculos rojos) de un círculo, elipses e hipérbolas
La última ecuación es equivalente a
De (1) y (2) se obtiene:
Los puntos de intersección de las tangentes ortogonales son puntos del círculo. .
Hipérbola
El caso de la elipse se puede adaptar casi exactamente al caso de la hipérbola. Los únicos cambios que se deben realizar son reemplazar con y restringir m a | m | > B/a. Por lo tanto:
Los puntos de intersección de las tangentes ortogonales son puntos del círculo. , donde a > b .
Ortóptico de un astroide
Ortóptico (púrpura) de un astroide
Un astroide puede describirse mediante la representación paramétrica
.
De la condición
se reconoce la distancia α en el espacio de parámetros a la que aparece una tangente ortogonal a ċ → ( t ) . Resulta que la distancia es independiente del parámetro t , a saber, α = ± π/2. Las ecuaciones de las tangentes (ortogonales) en los puntos c → ( t ) y c → ( t + π/2) son respectivamente:
Su punto común tiene coordenadas:
Ésta es simultáneamente una representación paramétrica del ortóptico.
La eliminación del parámetro t produce la representación implícita
Introduciendo el nuevo parámetro φ = t - 5π/4 uno obtiene
Isóptica de una parábola, una elipse y una hipérbola
Isópticas (violetas) de una parábola para ángulos de 80 ° y 100 °
Isópticas (violeta) de una elipse para ángulos de 80 ° y 100 °
Isópticas (violetas) de una hipérbola para ángulos de 80 ° y 100 °
A continuación se enumeran los isotópicos para ángulos α ≠ 90 ° . Se llaman α- isópticos. Para las pruebas, consulte a continuación .
Ecuaciones de las isópticas
Parábola:
Las α- isópticas de la parábola con ecuación y = ax 2 son las ramas de la hipérbola
Las ramas de la hipérbola proporcionan las isópticas para los dos ángulos α y 180 ° - α (ver imagen).
Elipse:
Las α- isópticas de la elipse con ecuaciónx 2/un 2 + y 2/b 2= 1 son las dos partes de la curva de grado 4
(ver foto).
Hipérbola:
Las α- isópticas de la hipérbola con la ecuaciónx 2/un 2 - y 2/b 2= 1 son las dos partes de la curva de grado 4
Pruebas
Parábola:
Una parábola y = ax 2 se puede parametrizar por la pendiente de sus tangentes m = 2 ax :
La tangente con pendiente m tiene la ecuación
El punto ( x 0 , y 0 ) está en la tangente si y solo si
Esto significa que las pendientes m 1 , m 2 de las dos tangentes que contienen ( x 0 , y 0 ) cumplen la ecuación cuadrática
Si las tangentes se encuentran en un ángulo α o 180 ° - α , la ecuación
debe cumplirse. Resolviendo la ecuación cuadrática para m , e insertando m 1 , m 2 en la última ecuación, se obtiene
Esta es la ecuación de la hipérbola anterior. Sus ramas llevan las dos isópticas de la parábola para los dos ángulos α y 180 ° - α .
Elipse:
En el caso de una elipse x 2/un 2 + y 2/b 2= 1 se puede adoptar la idea de la ortóptica para la ecuación cuadrática
Ahora, como en el caso de una parábola, la ecuación cuadrática debe resolverse y las dos soluciones m 1 , m 2 deben insertarse en la ecuación
El reordenamiento muestra que las isópticas son partes de la curva de grado 4:
Hipérbola:
La solución para el caso de una hipérbola se puede adoptar del caso de la elipse reemplazando b 2 con - b 2 (como en el caso de los ortopticos, ver arriba ).
Para visualizar las isópticas, consulte la curva implícita .
Schaal, Hermann (1977). "Lineare Algebra und Analytische Geometrie". III . Visualización: 220. ISBN 3-528-03058-5. Cite journal requiere |journal=( ayuda )