Un astroide es una curva matemática particular : un hipocicloide con cuatro cúspides . Específicamente, es el lugar geométrico de un punto en un círculo cuando rueda dentro de un círculo fijo con cuatro veces el radio. [1] Por doble generación, también es el lugar geométrico de un punto en un círculo cuando rueda dentro de un círculo fijo con 4/3 veces el radio. También se puede definir como la envolvente de un segmento de línea de longitud fija que se mueve manteniendo un punto final en cada uno de los ejes. Por tanto, es la envoltura de la barra móvil en el Trasmallo de Arquímedes .
Su nombre moderno proviene de la palabra griega para " estrella ". Fue propuesto, originalmente en forma de "Astrois", por Joseph Johann von Littrow en 1838. [2] [3] La curva tenía una variedad de nombres, incluyendo tetracuspid (todavía usado), cubocicloide y paraciclo . Tiene una forma casi idéntica a la evolución de una elipse.
Ecuaciones
Si el radio del círculo fijo es a, entonces la ecuación viene dada por [4]
Esto implica que un astroide es también una superelipse .
Las ecuaciones paramétricas son
La ecuación del pedal con respecto al origen es
la ecuación de Whewell es
y la ecuación de Cesàro es
La ecuación polar es [5]
El astroide es un locus real de una curva algebraica plana de género cero. Tiene la ecuación [6]
El astroide es, por tanto, una curva algebraica real de grado seis.
Derivación de la ecuación polinomial
La ecuación polinomial se puede derivar de la ecuación de Leibniz mediante álgebra elemental:
Cubra ambos lados:
Cubra ambos lados de nuevo:
Pero desde:
Resulta que
Por lo tanto:
o
Propiedades métricas
- Área delimitada [7]
- Longitud de la curva
- Volumen de la superficie de revolución del área encerrada alrededor del eje x .
- Área de superficie de revolución sobre el eje x
Propiedades
El astroide tiene cuatro singularidades cúspides en el plano real, los puntos de la estrella. Tiene dos singularidades de cúspide más complejas en el infinito y cuatro puntos dobles complejos, para un total de diez singularidades.
La curva dual del astroide es la curva cruciforme con la ecuaciónLa evolución de un astroide es un astroide dos veces más grande.
El astroide tiene solo una línea tangente en cada dirección orientada, lo que lo convierte en un ejemplo de erizo . [8]
Ver también
- Cardioide (epicicloide con una cúspide)
- Nefroide (epicicloide con dos cúspides)
- Deltoides (hipocicloide con tres cúspides)
- Stoner-Wohlfarth astroide un uso de esta curva en magnetismo.
- Espirógrafo
Referencias
- ^ Yates
- ^ JJ contra Littrow (1838). "§99. Die Astrois". Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik . Viena. pag. 299.
- ^ Loria, Gino (1902). Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte . Leipzig. págs. 224 .
- ^ Yates, para la sección
- ^ Mathworld
- ^ Se da una derivación de esta ecuación en la p. 3 de http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf
- ^ Yates, para la sección
- ^ Nishimura, Takashi; Sakemi, Yu (2011). "Vista desde el interior" . Revista matemática de Hokkaido . 40 (3): 361–373. doi : 10.14492 / hokmj / 1319595861 . Señor 2883496 .
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. pp. 4 -5, 34-35, 173-174. ISBN 0-486-60288-5.
- Wells D (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 10-11. ISBN 0-14-011813-6.
- RC Yates (1952). "Astroide". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. págs. 1 y sigs.
enlaces externos
- "Astroid" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Astroid" . MathWorld .
- "Astroid" en el archivo MacTutor History of Mathematics
- "Astroid" en la enciclopedia de formas matemáticas notables
- Artículo en 2dcurves.com
- Diccionario visual de curvas planas especiales, Xah Lee
- Bars of an Astroid por Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project .