En mecánica celeste , la integral de Jacobi (también conocida como integral de Jacobi o constante de Jacobi ) es la única cantidad conservada conocida para el problema circular restringido de tres cuerpos . [1] A diferencia del problema de los dos cuerpos, la energía y el momento del sistema no se conservan por separado y no es posible una solución analítica general. La integral se ha utilizado para derivar numerosas soluciones en casos especiales.
Lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi .
Definición
Sistema sinódico
Uno de los sistemas de coordenadas adecuados utilizados es el llamado sistema sinódico o co-rotativo, colocado en el baricentro , con la línea que conecta las dos masas μ 1 , μ 2 elegida como eje x y la unidad de longitud igual a su distancia. A medida que el sistema rota conjuntamente con las dos masas, permanecen estacionarias y se colocan en (- μ 2 , 0) y (+ μ 1 , 0). [a]
En el sistema de coordenadas ( x , y ), la constante de Jacobi se expresa de la siguiente manera:
dónde:
- n =2 π/Tes el movimiento medio ( período orbital T )
- μ 1 = Gm 1 , μ 2 = Gm 2 , para las dos masas m 1 , m 2 y la constante gravitacional G
- r 1 , r 2 son distancias de la partícula de prueba de las dos masas
Tenga en cuenta que la integral de Jacobi es menos el doble de la energía total por unidad de masa en el marco de referencia giratorio: el primer término se relaciona con la energía potencial centrífuga , el segundo representa el potencial gravitacional y el tercero es la energía cinética . En este sistema de referencia, las fuerzas que actúan sobre la partícula son las dos atracciones gravitacionales, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. Dado que los tres primeros pueden derivarse de potenciales y el último es perpendicular a la trayectoria, todos son conservadores, por lo que la energía medida en este sistema de referencia (y por lo tanto, la integral de Jacobi) es una constante de movimiento. Para una prueba computacional directa, vea a continuación.
Sistema sideral
En el sistema de coordenadas siderales inerciales ( ξ , η , ζ ), las masas están orbitando el baricentro . En estas coordenadas, la constante de Jacobi se expresa mediante [2]
Derivación
En el sistema de co-rotación, las aceleraciones se pueden expresar como derivadas de una única función escalar.
Usando la representación lagrangiana de las ecuaciones de movimiento:
( 1 )
( 2 )
( 3 )
Multiplicar las ecuaciones. ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) por ẋ , ẏ y ż respectivamente y sumando los tres rendimientos
Integrando rendimientos
donde C J es la constante de integración.
El lado izquierdo representa el cuadrado de la velocidad v de la partícula de prueba en el sistema de co-rotación.
Ver también
Notas
- ^ Bibliothèque nationale de France . Jacobi, Carl GJ (1836). "Sur le Movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris . 3 : 59–61.
- ^ Murray, Carl D .; Dermott, Stanley F. (1999). Dinámica del sistema solar (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 66-70. ISBN 9780521575973.
Bibliografía
- Carl D. Murray y Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1999], páginas 68–71. ( ISBN 0-521-57597-4 )