En álgebra abstracta , la conjetura de Jacobson es un problema abierto en la teoría de anillos sobre la intersección de poderes del radical de Jacobson de un anillo noetheriano .
Hasta ahora, solo se ha probado para tipos especiales de anillos noetherianos. Existen ejemplos para mostrar que la conjetura puede fallar cuando el anillo no es noetheriano en un lado, por lo que es absolutamente necesario que el anillo sea noetheriano de dos lados.
La conjetura lleva el nombre del algebrista Nathan Jacobson, quien planteó la primera versión de la conjetura.
Declaración
Para un anillo R con Jacobson radical J , los poderes no negativosse definen utilizando el producto de ideales .
- Conjetura de Jacobson: En un anillo noetheriano de derecha e izquierda ,
En otras palabras: "El único elemento de un anillo noetheriano en todas las potencias de J es 0".
La conjetura original planteada por Jacobson en 1956 [1] preguntaba acerca de los anillos noetherianos unilaterales no conmutativos, sin embargo, Israel Nathan Herstein produjo un contraejemplo en 1965, [2] y poco después, Arun Vinayak Jategaonkar produjo un ejemplo diferente que era un ideal principal de izquierda. dominio . [3] A partir de ese momento, la conjetura se reformuló para requerir anillos noetherianos de dos caras.
Resultados parciales
La conjetura de Jacobson se ha verificado para tipos particulares de anillos noetherianos:
- Todos los anillos conmutativos noetherianos satisfacen la conjetura de Jacobson. Ésta es una consecuencia del teorema de la intersección de Krull .
- Anillos noetherianos completamente delimitados [4] [5]
- Anillos noetherianos con Krull dimensión 1 [6]
- Anillos noetherianos que satisfacen la condición de la segunda capa [7]
Referencias
- ^ Jacobson, Nathan (1956), Estructura de los anillos , Sociedad matemática estadounidense, Publicaciones del coloquio, vol. 37, 190 Hope Street, Providence, RI: American Mathematical Society , pág. 200, MR 0081264Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace ). Citado por Brown, KA; Lenagan, TH (1982), "Una nota sobre la conjetura de Jacobson para anillos noetherianos derechos", Glasgow Mathematical Journal , 23 (1): 7-8, doi : 10.1017 / S0017089500004729 , MR 0641612.
- ^ Herstein, 1965 .
- ^ Jategaonkar 1968 .
- ^ Cauchon 1974 .
- ^ Jategaonkar 1974 .
- ^ Lenagan 1977 .
- ^ Jategaonkar 1982 .
Fuentes
- Cauchon, Gérard (1974), "Sur l'intersection des puissances du radical d'un T-anneau noethérien", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (en francés), 279 : 91-93, MR 0347894
- Goodearl, KR; Warfield, RB, Jr. (2004), Una introducción a los anillos noetherianos no conmutativos , Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres, 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, págs. Xxiv + 344, ISBN 0-521-54537-4, Señor 2080008
- Herstein, IN (1965), "Un contraejemplo en los anillos noetherianos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 54 (4): 1036–1037, Código Bibliográfico : 1965PNAS ... 54.1036H , doi : 10.1073 /pnas.54.4.1036 , ISSN 0027-8424 , MR 0188253 , PMC 219788 , PMID 16578617
- Jategaonkar, Arun Vinayak (1968), "Dominios ideales principales izquierdos", J. Algebra , 8 (2): 148-155, doi : 10.1016 / 0021-8693 (68) 90040-9 , ISSN 0021-8693 , MR 0218387
- Jategaonkar, Arun Vinayak (1974), "Conjetura y módulos de Jacobson sobre anillos noetherianos completamente acotados", J. Algebra , 30 (1-3): 103-121, doi : 10.1016 / 0021-8693 (74) 90195-1 , ISSN 0021-8693 , MR 0352170
- Jategaonkar, Arun Vinayak (1982), "Álgebras de Lie solubles, grupos policíclicos por finitos y dimensión de Krull bimódulo", Comm. Álgebra , 10 (1): 19–69, doi : 10.1080 / 00927878208822700 , ISSN 0092-7872 , MR 0674687
- Lenagan, TH (1977), "Anillos noetherianos con Krull dimensión uno", J. London Math. Soc. , Serie 2, 15 (1): 41–47, doi : 10.1112 / jlms / s2-15.1.41 , ISSN 0024-6107 , MR 0442008
- Rowen, Louis H. (1988), teoría del anillo. Vol. I , Matemáticas puras y aplicadas, 127 , Boston, MA: Academic Press Inc., págs. Xxiv + 538, ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245