En las matemáticas , en particular el análisis funcional , teorema James' , el nombre de Robert C. James , los estados que un espacio de Banach B es reflexivo si y sólo si cada continua funcional lineal en B alcanza su extremo superior en el cerrado bola unidad en B .
Una versión más fuerte de los estados teorema de que un débilmente cerrado subconjunto C de un espacio de Banach B es débilmente compacto si y sólo si cada continua funcional lineal en B alcanza un máximo en C .
La hipótesis de completitud del teorema no puede descartarse. [1]
Declaraciones
El espacio X considerado puede ser un espacio de Banach real o complejo. Su dual topológico se denota por X ' . El dual topológico del espacio ℝ-Banach deducido de X por cualquier escalar de restricción se denotará X ' ℝ . (Es de interés solo si X es un automóvil espacial porque si X es un espacio ℝ, entonces X ' ℝ = X' .)
James compacidad criterio - Let X un espacio de Banach y A un subconjunto no vacío débilmente cerrado de X . Las siguientes condiciones son equivalentes:* A es débilmente compacto.* Para cada f ∈ X ' , existe un elemento a de A tal que | f ( a ) | = sup {| f ( x ) | : x ∈ A }.* Para cualquier f ∈ X ' ℝ , existe un elemento a de A tal que f ( a ) = sup { f ( x ): x ∈ A }.
Un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su bola unitaria cerrada es débilmente compacta, se deduce de esto, ya que la norma de una forma lineal continua es el límite superior de su módulo en esta bola:
Teorema de James - Un espacio de Banach X es reflexivo si y solo si para todo f ∈ X ' , existe un elemento a de X como ║ a ║ ≤ 1 y f ( a ) = ║ f ║.
Historia
Históricamente, estas oraciones se probaron en orden inverso. En 1957, James había probado el criterio de reflexividad para los espacios de Banach separables [2] y 1964 para los espacios de Banach generales. [3] Dado que la reflexividad es equivalente a la compacidad débil de la esfera unitaria, Victor L. Klee reformuló esto como un criterio de compacidad para la esfera unitaria en 1962 y asume que este criterio caracteriza cualquier cantidad débilmente compacta. [4] Esto fue probado por James en 1964. [5]
Ver también
Notas
Referencias
- James, Robert C. (1957), "Reflexividad y el supremo de los funcionales lineales", Annals of Mathematics , 66 (1): 159–169, doi : 10.2307 / 1970122 , JSTOR 1970122 , MR 0090019
- Klee, Victor (1962), "Una conjetura sobre la compacidad débil", Transactions of the American Mathematical Society , 104 (3): 398–402, doi : 10.1090 / S0002-9947-1962-0139918-7 , MR 0139918.
- James, Robert C. (1964), "Conjuntos débilmente compactos", Transactions of the American Mathematical Society , 113 (1): 129-140, doi : 10.2307 / 1994094 , JSTOR 1994094 , MR 0165344.
- James, Robert C. (1971), "Un contraejemplo para un teorema sup en el espacio normado", Israel Journal of Mathematics , 9 (4): 511–512, doi : 10.1007 / BF02771466 , MR 0279565.
- James, Robert C. (1972), "Reflexividad y el apoyo de los funcionales lineales", Israel Journal of Mathematics , 13 (3–4): 289–300, doi : 10.1007 / BF02762803 , MR 0338742.
- Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Textos de posgrado en matemáticas , 183 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98431-3